Matematyka.pl

Odcinki \(\displaystyle{ AD, BE, CF}\) są wysokościami trójkąta ostrokątnego \(\displaystyle{ ABC}\). Wykazać, że rzuty prostokątne punktu \(\displaystyle{ D}\) na proste \(\displaystyle{ AB, AC, BE}\) i \(\displaystyle{ CF}\) leżą na jednej prostej.

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ P,Q,K}\) rzuty punktu \(\displaystyle{ D}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AB.AC,BE}\).
Czworokąt \(\displaystyle{ EKDQ}\) jest prostokątem, więc \(\displaystyle{ \angle DEQ=\angle QKD}\).
Trójkąt \(\displaystyle{ DEC}\) jest podobny do \(\displaystyle{ ABC}\), więc \(\displaystyle{ \angle DEC=\angle ABC}\).
Na czworokącie \(\displaystyle{ PBDK}\) można opisać okrąg, więc \(\displaystyle{ 180-\angle PKD=\angle PBD}\).
Ostatecznie \(\displaystyle{ \angle QKD=\angle DEQ=\angle DEC=\angle ABC=\angle PBD=180-\angle PKD}\).

matmatmm pisze: Trójkąt \(\displaystyle{ DEC}\) jest podobny do \(\displaystyle{ ABC}\),

czemu tak? \(\displaystyle{ DE||AB}\)? dlaczego?

Nie, nie. Kąty odwrotnie tzn. \(\displaystyle{ \angle ABC=\angle DEC,\angle BAC=\angle EDC}\).

Znam dowód przez użycie podobieństwa \(\displaystyle{ \triangle ADC\sim\triangle BEC}\).