Równania różniczkowe rzędu II (metoda uzmienniania stałych)

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
ola7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 10 lis 2018, o 11:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 5 razy

Równania różniczkowe rzędu II (metoda uzmienniania stałych)

Post autor: ola7 » 20 kwie 2019, o 18:52

Hej, potrzebuję pomocy z następującymi przykładami:
a) \(\displaystyle{ y''-y=\frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}}}\)

b) \(\displaystyle{ y''-2y'\tg x=1}\)

Wiem, że najpierw należy rozwiązać równanie jednorodne...
Ostatnio zmieniony 21 kwie 2019, o 18:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7179
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 205 razy
Pomógł: 2855 razy

Równania różniczkowe rzędu II (metoda uzmienniania stałych)

Post autor: kerajs » 21 kwie 2019, o 11:12

a) \(\displaystyle{ y''-y=\frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}}}\)
\(\displaystyle{ y''-y=0\\ y=C_1e^x+C_2e^{-x}}\)
Musisz rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} e^{x}&e^{-x}\\e^{x}&-e^{-x}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1' \\ C_2' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \frac{4x^{2}+1}{x\sqrt{x}} \end{bmatrix}}\)

b) \(\displaystyle{ y''-2y'\tg x=1}\)
Podstawienie:
\(\displaystyle{ y' =q(x) \ \ \Rightarrow \ \ y''=q'}\)
obniża rząd i daje równanie liniowe
\(\displaystyle{ q'-(2 \tg x )q=1}\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1216 razy

Równania różniczkowe rzędu II (metoda uzmienniania stałych)

Post autor: mariuszm » 21 kwie 2019, o 15:56

Skoro ma być uzmiennianie stałych to w tym drugim równaniu należy zamienić zmienną niezależną

\(\displaystyle{ y''-2y'tgx=1\\ t=\tg{x}\\ \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }=1+\tg^2{x} \\ \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }= 1 + t^2\\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t} \cdot \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \\ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }=\left( 1+t^2\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\\ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right) \\ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} =\frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t }\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t} \cdot \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \right) \cdot \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x } \\ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2} = \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}t }\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\left( 1+t^2\right) \right) \left( 1+t^2\right) \\ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x ^2}=\frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2+2t\left( 1+t^2\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}\\}\)

\(\displaystyle{ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2+2t\left( 1+t^2\right)\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}-2t\left( 1+t^2\right) \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}t}=1\\ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}\left( 1+t^2\right)^2=1\\ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}t^2}=\frac{1}{\left( 1+t^2\right)^2}\\}\)

ODPOWIEDZ