Układ równań różniczkowych.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
ola7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 10 lis 2018, o 11:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Układ równań różniczkowych.

Post autor: ola7 » 19 kwie 2019, o 22:37

Mam problem z przykładami, proszę o pomoc
a) \(\begin{cases}y'=y+x \\ z'=y+z+x \end{cases}\)

b) \(\begin{cases}y'=1- \frac{1}{z} \\ z'= \frac{1}{y-x} \end{cases}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Układ równań różniczkowych.

Post autor: Janusz Tracz » 19 kwie 2019, o 22:59

a) To jest układ równań liniowych więc są standardowe metody na taki problem. Można na przykład zapisać z drugiego równa \(y=z'-z-x\) zróżniczkować \(y'=z''-z'-1\) a to wstawić do pierwszego równania dostając

\(z''-z'-1=z'-z\)

co jest równaniem 2 rzędu o stałych współczynnikach co rozwiązuje się na przykład równaniem charakterystycznym dostając (o ile dobrze liczę):

\(z(x)=C_1e^x+C_2xe^x+1\)

b) Z pierwszego równania wynika, że \(z= \frac{1}{1-y'}\) czyli ten układ można zapisać jako

\(\begin{cases} z(y'-1)=-1 \\ z'(y-x)=1 \end{cases}\)

sumując stronami dostaniemy że:

\(z(y'-1)+z'(y-x)=0\)

A to można zwinąć do

\(\left(z(y-x)\right)'=0\)

Zatem \(z(y-x)=\text{const}\) czyli \(z= \frac{\text{const}}{y-x}\). Wstawiając to do drugiego równania dostajemy, że:

\(-\text{const} \frac{y'-1}{y-x}=1\)

A to już jest równanie liniowe z którego można wyznaczyć \(y(x)\) a potem \(z(x)\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Układ równań różniczkowych.

Post autor: mariuszm » 20 kwie 2019, o 09:53

Janusz Tracz, Ja próbowałem rozwiązywać w postaci symetrycznej
Podobnie można rozwiązywać równania cząstkowe pierwszego rzędu

\(\begin{cases}y'=1- \frac{1}{z} \\ z'= \frac{1}{y-x} \end{cases}\\ \begin{cases}y'= \frac{z-1}{z} \\ z'= \frac{1}{y-x} \end{cases}\\ \frac{ \mbox{d}y}{\frac{z-1}{z}} = \frac{ \mbox{d}z}{\frac{1}{y-x}} = \frac{ \mbox{d}x }{1} \\ \frac{z}{z-1} \mbox{d}y =\left( y-x\right) \mbox{d}z = \mbox{d}x \\ \frac{ \mbox{d}y}{\left( z-1\right)\left( y-x\right) } = \frac{ \mbox{d}z}{z} = \frac{ \mbox{d}x }{z\left( y-x\right) } \\\)

\(\frac{ \mbox{d}y- \mbox{d}x }{\left( y-x\right)\left( z-1-z\right) }= \frac{ \mbox{d}z}{z} \\ \frac{\mbox{d}y- \mbox{d}x}{-\left( y-x\right) } = \frac{ \mbox{d}z}{z} \\ \frac{\mbox{d}y- \mbox{d}x}{ y-x} = -\frac{ \mbox{d}z}{z} \\ \ln{\left| y-x\right| }=-\ln{\left| z\right| }+C\\ \ln{\left| y-x\right| }+\ln{\left| z\right| }=C\\ \ln{\left| z\left( y-x\right) \right| }=C\\ z\left( y-x\right)=C_{1}\\\)

\(\frac{ \mbox{d}z}{z} = \frac{ \mbox{d}x }{z\left( y-x\right) } \\ \frac{ \mbox{d}z}{z} = \frac{ \mbox{d}x }{z \cdot \frac{C_{1}}{z} } \\ \frac{ \mbox{d}z}{z} = \frac{ \mbox{d}x }{C_{1}} \\ \ln{\left| z\right| }=\frac{x}{C_{1}}+C\\ z=C_{2}e^{ \frac{x}{C_{1}} }\\\)

\(\begin{cases} z\left( y-x\right)=C_{1} \\ ze^{ -\frac{x}{C_{1}} } = C_{2}\end{cases}\)

ola7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 10 lis 2018, o 11:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Układ równań różniczkowych.

Post autor: ola7 » 20 kwie 2019, o 20:41

Dziękuje . Jednak dalej nie radzę sobie z przykładem a)..

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Układ równań różniczkowych.

Post autor: Janusz Tracz » 20 kwie 2019, o 21:08

A czy umiesz rozwiązywać równania różniczkowe liniowe 2 rzędu o stałych współczynnikach jednorodne? W którym momencie masz problem? Gubisz się w rozwiązywaniu równania o stałych współczynnikach czy wcześniej gdy przekształcamy układ równań? Bo jeśli problem leży w równaniu 2 rzędy to nie za bardzo mogę pomóc inaczej niż odsyłając do notatek z wykładu. To jest podstawa którą trzeba znać w internecie też jest mnóstwo przykładów klik

PS Wiem, że tu mamy do czynienia z równaniem niejednorodnym \(z''-2z'+z=\red{1}\) ale od jednorodnego warto zacząć (poza tym można zrobić podstawianie które pozwoli i tak sprawdzić to równanie do równania jednorodnego \(w=z-1\) ale mniejsza z tym na razie).

ola7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 10 lis 2018, o 11:02
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

Re: Układ równań różniczkowych.

Post autor: ola7 » 22 kwie 2019, o 13:13

Wychodzi mi dojść do rozwiązania \(z(x)=(C _{1}x+c _{2}) e^{x}\), jednak na wykładzie nie rozwiązywaliśmy tego typu równań niejednorodnych, a w internecie to co znalazłam mówi o metodach przewidywania, czego również nie realizujemy na wykładach raczej, wiem że można też to rozwiązać bazując na macierzach.. i dochodzę do momentu, że mam układ równań:
\(\begin{cases} xe ^{x} \frac{du _{1} }{dx}+e ^{x} \frac{du _{2} }{dx}=0 \\ e ^{x}(1+x) \frac{du _{1} }{dx}+e ^{x} \frac{du _{2} }{dx}=1 \end{cases}\)
łatwo wyznaczam z tego \(u _{1}=-e ^{x}+C _{1}\) oraz \(u _{2}=e ^{-x}(x+1)+C _{2}\) oraz całe \(z(x)=C _{1}xe ^{x}+C _{2}e ^{x}+1\) tak jak wyżej napisałeś może mam problem dlatego że nie zgadza mi się z odpowiedziami że \(z=-A+Be ^{2x}+ \frac{1}{4}x ^{2}- \frac{1}{4}x+ \frac{1}{4}\)... ale z drugiej strony to po prostu mógł się wkraść błąd

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Układ równań różniczkowych.

Post autor: mariuszm » 23 kwie 2019, o 20:00

Jeżeli chodzi o metodę macierzową to też można

\(\begin{cases}y'=y+x \\ z'=y+z+x \end{cases}\)

\(\begin{bmatrix} y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} y \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix} \\ \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 0\\ 1 & 1-\lambda \end{bmatrix} =0\\ \left( 1-\lambda\right)^2=0\\ \lambda = 1\\ \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=0\\ x_{1} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\)

Brakuje nam jednego wektora własnego
Trzeba go poszukać wśród uogólnionych wektorów własnych

\(\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

Drugim wektorem własnym może być np

\(x_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)


Zatem rozwiązaniem układu jednorodnego jest


\(\left( \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+x\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e^{x} +\left( \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+x\begin{bmatrix} 0 &0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right) \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}e^{x}\\ \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & x \end{bmatrix}e^{x}\)

\(\begin{bmatrix} 0 & e^{x} \\ e^{x} & xe^{x} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} C_{1}'\left( x\right) \\ C_{2}'\left( x\right) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ x \end{bmatrix} \\ W = -e^{2x}\\ W_{C1'}=x^2e^{x}-xe^{x}\\ W_{C2'}=-xe^{x}\\ C_{1}'\left( x\right) =\left( x-x^{2}\right)e^{-x}\\ C_{1}\left( x\right) = -\left( x-x^{2}\right)e^{-x}+\int{\left( 1-2x\right)e^{-x} \mbox{d}x }\\ C_{1}\left( x\right) = -\left( x-x^{2}\right)e^{-x}-\left( 1-2x\right)e^{-x}+ 2\int{-e^{-x}} \\ C_{1}\left( x\right) = \left( x^2+x+1\right)e^{-x} \\ C_{2}\left( x\right) = \int{xe^{-x} \mbox{d}x }\\ C_{2}\left( x\right) =-xe^{x} +\int{e^{-x} \mbox{d}x }\\ C_{2}\left( x\right) =-\left( x+1\right)e^{-x} \\ \left( x^2+x+1\right)e^{-x} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}e^{x} -\left( x+1\right)e^{-x} \begin{bmatrix} 1 \\ x \end{bmatrix}e^{x}\\ \begin{bmatrix} -x-1 \\ 1 \end{bmatrix} \\\)

Rozwiązanie układu niejednorodnego to

\(\begin{bmatrix} y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{2}e^{x} - x - 1 \\ C_{1}e^{x} + C_{2}xe^{x} + 1 \end{bmatrix} \\\)

Można też rozwiązywać metodą eliminacji tak jak Janusz Tracz, proponował

ODPOWIEDZ