Redukcja rzędu.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Raziel95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 4 gru 2016, o 14:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy

Redukcja rzędu.

Post autor: Raziel95 » 14 kwie 2019, o 13:55

Mam równianie:

\(\displaystyle{ y''-4y'+4y=0 , y_{1} = e ^{2x}}\)

Należy metodą redukcji rzędu znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania.

\(\displaystyle{ y_{2} = u(x)e ^{2x}}\)

\(\displaystyle{ y' = e ^{2x}u' +2e ^{2x} u}\)

\(\displaystyle{ y'' = e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u' +4e ^{2x} u}\)

\(\displaystyle{ e ^{2x}u = y}\)

Więc:

\(\displaystyle{ y'' - 4y = e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u'}\)

Rozumiem, że powinienem wrócić do postaci:

\(\displaystyle{ y''-4y'+4y=0}\)

Tylko co dalej?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7592
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3000 razy

Redukcja rzędu.

Post autor: kerajs » 14 kwie 2019, o 14:06

Raziel95 pisze:Mam równianie:

\(\displaystyle{ y''-4y'+4y=0 , y_{1} = e ^{2x}}\)

Należy metodą redukcji rzędu znaleźć rozwiązanie ogólne tego równania.

\(\displaystyle{ y_{2} = u(x)e ^{2x}}\)

\(\displaystyle{ y' = e ^{2x}u' +2e ^{2x} u}\)

\(\displaystyle{ y'' = e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u' +4e ^{2x} u}\)
OK.
Wstawiasz to do pierwotnego równania i dostajesz:
\(\displaystyle{ (e ^{2x} u'' +4e ^{2x} u' +4e ^{2x} u)-4(e ^{2x}u' +2e ^{2x} u)+4(e ^{2x})=0\\ e ^{2x} u'' =0\\ u''=0\\ u'=C_1\\ u=xC_1+C_2}\)
stąd:
\(\displaystyle{ y= u(x)e ^{2x}=(xC_1+C_2)e ^{2x}}\)

Raziel95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 4 gru 2016, o 14:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy

Redukcja rzędu.

Post autor: Raziel95 » 14 kwie 2019, o 14:18

A ten przykład dobrze zrobiłem?

\(\displaystyle{ x^{2}y'' + 2xy' - 6y = 0, y_{1} =x^{2}}\)

\(\displaystyle{ y'' + \frac{2}{x} y' - \frac{6}{x ^{2} } y = 0}\)

\(\displaystyle{ y_{2} = x ^{2} \int_{}^{} \frac{ e^{ \int_{}^{} \frac{2}{x} dx} }{x ^{4}} dx = -x}\)

\(\displaystyle{ y= c_{1} x ^{2} - c _{2}x}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7592
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3000 razy

Redukcja rzędu.

Post autor: kerajs » 14 kwie 2019, o 18:03

Raziel95 pisze:A ten przykład dobrze zrobiłem?
\(\displaystyle{ x^{2}y'' + 2xy' - 6y = 0, y_{1} =x^{2}}\)
....
...
\(\displaystyle{ y= c_{1} x ^{2} - c _{2}x}\)
No to sprawdźmy:
\(\displaystyle{ y'=c_12x-c_2\\ y''=2c_1}\)
wstawiam to do pierwotnego równania:
\(\displaystyle{ L=x^2(2c_1)+2x(c_12x-c_2)-6(c_{1} x ^{2} - c _{2}x)=8c_2x \neq 0\\ L \neq P}\)
Wychodzi że przykład nie jest prawidłowo rozwiązany

Robiłbym tak:
\(\displaystyle{ x^{2}y'' + 2xy' - 6y = 0, y_{1} =x^{2}}\)
\(\displaystyle{ y=ux^2 \ \ \Rightarrow \ \ y'=u'x^2+2ux \ \ \Rightarrow \ \ y''=u''x^2+4u'x+2u}\)
\(\displaystyle{ x^{2}(u''x^2+4u'x+2u) + 2x(u'x^2+2ux) - 6(ux^2) = 0}\)
\(\displaystyle{ u''x^4+6u'x^3=0}\)
dzielę przez \(\displaystyle{ x^3}\) (zakładam że nie sprawdzacie punktów i rozwiązań osobliwych) i podstawiam \(\displaystyle{ p=u'}\). Dostaję równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
\(\displaystyle{ p'x+6p=0\\ \frac{ \mbox{d}p}{p}=-6 \frac{ \mbox{d}x }{x} \\ \ln p=-6 \ln x+C\\ p= \frac{C}{x^6} \\ u'=p \ \ \Rightarrow \ \ u'=\frac{C}{x^6} \ \ \Rightarrow \ \ u= \frac{-C}{5x^5}+C_2 =\frac{C_1}{x^5}+C_2 \\ y=ux^2=\frac{C_1}{x^3}+C_2x^2}\)

Sprawdzenie pozostawiam Tobie.

Raziel95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 4 gru 2016, o 14:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 21 razy

Re: Redukcja rzędu.

Post autor: Raziel95 » 14 kwie 2019, o 19:11

Sprawdziłem i \(\displaystyle{ L=P}\)

Czemu jednak lepiej tutaj skorzystać z tradycyjnego podejścia zamiast z przypadku ogólnego, gdy
równianie jest postaci :

\(\displaystyle{ y''+P(x)y'+Q(x)y=0}\)

i skorzystać ze wzoru:

\(\displaystyle{ y _{2}=y _{1}(x) \int_{}^{} \frac{e ^{- \int_{}^{} Pdx} }{ y_{1} ^{2} } dx}\)

EDIT:

Policzyłem jeszcze raz ze wzoru i również wyszło mi poprawnie.
Zapomniałem znaku \(\displaystyle{ -}\) przed całką przy \(\displaystyle{ e}\).
Poza tym wszystko się zgadza.

Rozwiązanie, które mi wyszło to:
\(\displaystyle{ y=C _{1}x ^{2} - \frac{C _{2}}{5 x^{3} }}\)

Wyszło różnica w znaku i ułamku. Ale to chyba nie ma znaczenia bo \(\displaystyle{ C _{2}}\) to dowolna liczba. Zgadza się?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7592
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 227 razy
Pomógł: 3000 razy

Re: Redukcja rzędu.

Post autor: kerajs » 14 kwie 2019, o 20:21

Twoja edycja uprzedziła mnie, i musiałem skasować fragment o braku minusa i prawidłowe rozwiązanie go uwzględniające.

Stałe 'zjadają' każdy współczynnik i zbędne minusy.

Sądziłem że masz narzuconą metodę i musisz postępować jak w pierwszym poscie. Gdyby nie było ograniczeń co do metody to oba równania (pierwsze to równanie Newtona, a drugie Eulera) rozwiązują odpowiednie podstawienia i równania charakterystyczne.

Drugie:
\(\displaystyle{ x^2y''+2xy'-6y=0\\ y=x^r \ \ \Rightarrow \ \ y'=rx^{r-1} \ \ \Rightarrow \ \ y'=r(r-1)x^{r-2} \\ x^2r(r-1)x^{r-2}+2rx^{r-1}-6x^r=0\\ r^2+r-6=0 \ \ \Rightarrow \ \ r=2 \vee r=-3\\ y=C_1x^2+C_2x^{-3}}\)

ODPOWIEDZ