Udowodnij, że ...

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
nightclower16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 24 lut 2007, o 22:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Udowodnij, że ...

Post autor: nightclower16 » 9 paź 2007, o 16:36

Udowodnij ( nie idukcyjnie), że dla każdej liczby całkowitej n liczba: n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 6.

Proszę o pomoc .
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Udowodnij, że ...

Post autor: Piotr Rutkowski » 9 paź 2007, o 17:09

można np. ze znanego wzoru:
\(\displaystyle{ 1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}\), a po lewej mamy liczbę całkowitą Jakbyś chciał inaczej, to wystarczy posprawdzać przystawania iloczynu modulo 2 i modulo 3

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

Udowodnij, że ...

Post autor: jarekp » 9 paź 2007, o 17:14

n(n-1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych(jedna z nich jest parzysta)
więc n(n-1)(2n+1) jest zawsze podzielna przez 2.

Pozostaje wykazać podzielność przez 3.

1. n=3k n jest podzielna przez 3. k-liczba całkowita

2.jeśli n=3k+1 to wtedy czynnik 2n+1=2(3k+1)+1=6k+3 czyli jest podzielny przez 3

3.n=3k+2 to wtedy czynnik n+1=3n+3 jest podzielny przez 3

czyli w każdym przypadku licza n(n+1)(2n+1) jest podzielna przez 2 i 3 czyli jest zawsze podzielna przez 6.


ODPOWIEDZ