trojkat rownoboczny

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
wlod3224
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 9 kwie 2019, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

trojkat rownoboczny

Post autor: wlod3224 » 11 kwie 2019, o 21:06

Udowodnij ze trojkat nie jest rownoboczny wtedy i tylko wtedy gdy jeden z kątow zewnętrznych tego trojkata jest wiekszy od \(120\) stopni.

W trojkacie rownobocznym miary kątów wewnetrznych wynosza po \(60\) stopni.
Kąt zewnętrzny jest rowny sumie katow wewnetrzych do niego nieprzyleglych.
Kazdy z kątow zewnetrznych trojkata rownobocznego bedzie mial miare \(120\) stopni.
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2019, o 21:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Pisz staranniej.

Awatar użytkownika
MrCommando
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 477
Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Płock/MiNI PW

Re: trojkat rownoboczny

Post autor: MrCommando » 11 kwie 2019, o 23:47

Implikacja "w prawo".
Przypuśćmy, że każdy z kątów zewnętrznych ma miarę nie większą niż \(120^{\circ}\). Pokażemy, że trójkąt jest równoboczny (prawo kontrapozycji). Niech \(\alpha, \beta, \gamma\) będą kątami tego trójkąta. Wtedy \(\alpha+\beta \leq 120^{\circ}\), \(\beta+\gamma \leq 120^{\circ}\) i \(\gamma+\alpha \leq 120^{\circ}\). Zatem \(2\alpha+2\beta+2\gamma \leq 360^{\circ}\). co jest równoważne \(\alpha+\beta+\gamma \leq 180^{\circ}\). Równość w ostatniej nierówności zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi w tych trzech od których wychodziliśmy na samym początku, czyli wtedy, gdy \(\alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}\). A skoro wiemy, że równość zachodzi (suma miar kątów w trójkącie wynosi \(180^{\circ}\), to \(\alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}\). Zatem trójkąt jest równoboczny.

Implikacja "w lewo".
Skoro jeden z kątów zewnętrznych danego trójkąta ma miarę większą od \(120^{\circ}\), to kąt do niego przyległy będący zarazem kątem wewnętrznym danego trójkąta ma miarę mniejszą od \(60^{\circ}\), z czego wynika fakt, że trójkąt nie może być równoboczny.

ODPOWIEDZ