Pochodna na przestrzeni wektorowej

Różniczkowanie i całkowanie pól wektorowych. Formy różniczkowe i całkowanie form. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe. Twierdzenie Greena, Stokesa itp. Interpretacja całek krzywoliniowych i powierzchniowych i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Pochodna na przestrzeni wektorowej

Post autor: camillus25 » 8 kwie 2019, o 18:41

Potrzebuję bardzo pomocy z takim oto zadaniem.

Dana jest przestrzeń unormowana \(\left( V=C[0,1], \ \left| \left| \cdot \right| \right|_{sup}\right)\) i \(T \in Map(V;V), \ T(f)=f^{2}\). Niech \(f_{0} \in V\). Wyznacz \(dT(f_{0})\).

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18648
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Pochodna na przestrzeni wektorowej

Post autor: szw1710 » 9 kwie 2019, o 22:14

Dla "zwykłych" funkcji masz \((x^2)'=2x.\) Podążamy tym śladem. Wykaż, że \(\dd T(f_0)(h)=2f_0h.\) Zrób to z definicji pochodnej Frécheta. Trzeba będzie sprawdzić, że jeśli \(\|h\|\to 0\), to \(\frac{h^2}{\|h\|}\to 0\) w sensie normy supremum. Zważ, że dla małych \(t\), czyli dla \(|t|<1\), \(t^2\le t\), więc kwadrat zmierza do zera szybciej niż liczba.

ODPOWIEDZ