2 równania o zmiennych rozdzielonych

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Awatar użytkownika
amdfanatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 27 mar 2005, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: /dev/zero
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 7 razy

2 równania o zmiennych rozdzielonych

Post autor: amdfanatyk » 9 paź 2007, o 14:18

1. chyba poprawnie rozwiązane

\(\displaystyle{ y'=\frac{cos(x)}{y}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}y^2=sin(x)+C}\)
\(\displaystyle{ y={(2sin(x)+C)}^{\frac{1}{2}}}\)

2. nie potrafię rozwiązać do końca

\(\displaystyle{ y'=y\frac{ln(x)}{x}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)=\frac{1}{2}ln^2(x)+C}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 równania o zmiennych rozdzielonych

Post autor: luka52 » 9 paź 2007, o 14:21

ad 1.
Prawie dobrze, tj. jeżeli już chcesz mieć wynik jako y=..., to:
\(\displaystyle{ y = \sqrt{2 \sin x + C}}\)

ad 2.
\(\displaystyle{ y = C e^{\frac{\ln^2 x}{2}}}\)

Awatar użytkownika
amdfanatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 27 mar 2005, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: /dev/zero
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 7 razy

2 równania o zmiennych rozdzielonych

Post autor: amdfanatyk » 9 paź 2007, o 15:54

ad 2.
\(\displaystyle{ y = C e^{\frac{\ln^2 x}{2}}}\)
Możesz wyjaśnić to przekształcenie? Jakoś dalej tego nie widzę.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 równania o zmiennych rozdzielonych

Post autor: luka52 » 9 paź 2007, o 15:58

A dokładniej to tak:
\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln^2 x}{2} + C} = e^C e^{\frac{\ln^2 x}{2}} = C e^{\frac{\ln^2 x}{2}}}\)
teraz widać?
Ostatnio zmieniony 9 paź 2007, o 17:20 przez luka52, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
amdfanatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 27 mar 2005, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: /dev/zero
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 7 razy

2 równania o zmiennych rozdzielonych

Post autor: amdfanatyk » 9 paź 2007, o 16:57

Po obustronnym podniesieniu do potęgi e otrzymam:
\(\displaystyle{ ln^e(y)=(\frac{1}{2}ln^2(x)+C)^e}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 równania o zmiennych rozdzielonych

Post autor: luka52 » 9 paź 2007, o 17:19

No tak, głupoty już piszę...

Awatar użytkownika
amdfanatyk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 27 mar 2005, o 14:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: /dev/zero
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 7 razy

2 równania o zmiennych rozdzielonych

Post autor: amdfanatyk » 2 sty 2008, o 19:36

Należy się za to wziąć w ten sposób:
\(\displaystyle{ y'=y\frac{ln(x)}{x}}\)
\(\displaystyle{ ln(y)=\frac{1}{2}ln^2(x)+ln(C_{0})}\)
\(\displaystyle{ C=ln(C_{0})}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ y=C_{0}e^{\frac{1}{2}ln^2(x)}}\)

Więc rozwiązanie podałeś poprawne tylko nie potrafiłeś go wytłumaczyć.

ODPOWIEDZ