Taka sobie ciekawa granica

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Taka sobie ciekawa granica

Post autor: Sir George » 9 paź 2007, o 13:59

Witam!
Przypadkowo natknąłem się na taką oto poniższą granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\,\frac{e^n}{\big(1+\frac1n\big)^{n^2}}}\)

Chyba już wiem, ile ona wynosi... jestem jednak ciekaw, czy ktoś z forumowiczów znajdzie ładne rozwiązanie (moje, o ile nie jest błędne, to jak przejazd trałem przez pole minowe )

Pozdrawiam
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
przemk20
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1094
Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olesno
Podziękował: 45 razy
Pomógł: 236 razy

Taka sobie ciekawa granica

Post autor: przemk20 » 9 paź 2007, o 14:29

wystarczy chyba zauwazyc ze
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } (1 + \frac{1}{n})^n = e, \ \ z \ czego \\
\lim_{n \to } \frac{e^n}{((1 + \frac{1}{n})^n)^n } = \lim_{n \to } \frac{e^n}{e^n} = 1}\)


luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Taka sobie ciekawa granica

Post autor: luka52 » 9 paź 2007, o 14:36

Moja propozycja:
\(\displaystyle{ = \lim_{n \to + } e^{n \ln ft( e (1+ \frac{1}{n})^{-n} \right)}}\)
I teraz podstawiając t = 1/n, liczymy granicę wykładnika:
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0^+} \frac{1 + \ln ft( 1+ t \right)^{- \frac{1}{t}}}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{t - \ln (1+t)}{t^2} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln \frac{e^t}{1+t}}{t^2} \stackrel{\mathbf{H}}{=} \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{2(1+t)} = \frac{1}{2}}\)

Ostatecznie granica wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{e}}\)

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Taka sobie ciekawa granica

Post autor: liu » 9 paź 2007, o 19:24

przemk20 pisze:wystarczy chyba zauwazyc ze
\(\displaystyle{ \lim_{n \to } (1 + \frac{1}{n})^n = e, \ \ z \ czego \\
\lim_{n \to } \frac{e^n}{((1 + \frac{1}{n})^n)^n } = \lim_{n \to } \frac{e^n}{e^n} = 1}\)
To nie ma sensu. Ta sama metoda mozna na przyklad latwo "wykazac", ze e=1
Popelniles standardowy blad, ktory jest zwykle warunkiem wystarczajacym do otrzymania oceny 2:)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Taka sobie ciekawa granica

Post autor: bolo » 9 paź 2007, o 21:09

Ta granica już była kiedyś na forum Piękny przykład, na którym można się nieźle wyłożyć...

The 8th Annual Vojtěch Jarník, 1998, Category I, Problem 2.

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Taka sobie ciekawa granica

Post autor: Sir George » 10 paź 2007, o 10:14

bolo, WOW, jest jeszcze ktoś, kto zagląda na takie strony!
BTW, bywałeś może w Ostrawie?

liu, właśnie dlatego przykład mi się b.spodobał. Chociaż na mojej Alma Mater byłoby to raczej zadanie na ocenę 6.0...

.

Moje rozwiązanie, po poprawkach i małym "wyczyszczeniu" w sumie okazało się nie takie "tępe", jak myślałem na początku. Schemat jest taki:

1. oszacowanie logarytmu (np. z rozwinięcia w szereg lub przez nierówności z pochodnymi):
\(\displaystyle{ x-\frac{x^2}2\,\le\,\log(1+x)\, \, x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3}\)

2. Powyższe oszacowanie daje nam:
\(\displaystyle{ \frac1{2n}-\frac1{3n^2}\, \, 1-n\log\big(1+\frac1n\big)\,=\, \log\left(\frac{e}{\big(1+\frac1n\big)^n}\right)\, \, \frac1{2n}}\),
skąd
\(\displaystyle{ e^{1/2-1/3n}\, \, \frac{e^n}{\big(1+\frac1n\big)^{n^2}}\, \,e^{1/2}}\)

3. .. i coup de grace z tw. o trzech ciągach...

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Taka sobie ciekawa granica

Post autor: bolo » 10 paź 2007, o 17:31

Nie, nie byłem, a już na pewno nie w tym celu Ale niektóre zadania mi się podobają.

ODPOWIEDZ