Zmiana zmiennych w równaniu różniczkowym

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Unforg1ven
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 299
Rejestracja: 18 mar 2017, o 00:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Włocławek

Zmiana zmiennych w równaniu różniczkowym

Post autor: Unforg1ven » 7 kwie 2019, o 11:35

Nie jestem pewien czy rozumiem dobrze jedną rzecz.
Zadanie
Dokonując liniowej zamiany zmiennych sprowadzić równanie:
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}-2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+3\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial z}=g\)
do postaci:
\(a\frac{\partial^2 f}{\partial p^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial q^2}+c\frac{\partial^2 f}{\partial r^2}=g\)

Podstawienie ma postać:
\(p=kx+k', q=ly+l' r=mz+m'\)
\(\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial f}{\partial p}\cdot\frac{\partial p}{\partial x} +\frac{\partial f}{\partial q}\cdot\frac{\partial q}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}\) (1)
Zatem:
\(\frac{\partial f}{\partial x}=k\frac{\partial f}{\partial p}\)
I tu jestem zmieszany, czy ja dobrze robię?
\(\frac{\partial }{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) =\frac{\partial }{\partial x} \left( k\frac{\partial f}{\partial p} \right) = \text{ tu korzystam z } \left( 1 \right) =k\frac{\partial }{\partial p} \left( k\frac{\partial f}{\partial p} \right) +q\frac{\partial}{\partial q} \left( k\frac{\partial f}{\partial p} \right) +...=k^2\frac{\partial^2 f}{\partial p^2}\)
Ostatnio zmieniony 7 kwie 2019, o 14:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Temat umieszczony w złym dziale.

ODPOWIEDZ