Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
borowek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tarnów

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: borowek » 6 kwie 2019, o 00:03

Witam mam do rozwiązania kilka równań, ale kompletnie nie wiem jak się za nie zabrać, co robić itd.
1. \(y' = - \frac{y}{x}\)
2. \(y \cdot \frac{dy}{dx} + x = 1\)
3. \(y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0\)
4. \(xy'-y= y^{2}\)
Rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu jednorodne zględem \(\frac{y}{x}\):
5. \(\frac{dy}{dx}+ \frac{y}{x}=2, y(1)=2\)
6. \(y'- \frac{y}{x}=e ^{ \frac{y}{x} }\)
7. \(y'- \frac{y}{x} = ({\sin \frac{y}{x}})^{2}\)
Zupełnie nie wiem jak to ugryźć, byłbym wdzięczy, gdyby ktoś mógł np rozwiązać po 1 przykładzie i wytłumaczyć po krótce.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: Premislav » 6 kwie 2019, o 00:48

Bierzesz książkę Palczewskiego i zbiór zadań Matwiejewa (są tam też rozwiązane przykłady), a jak za trudna to Skoczylasa któregoś albo KW drugi tom, i jedziesz, od przepisywania za bardzo się nie nauczysz. No ale cóż, lubię liczyć.

1)
\(y' = - \frac{y}{x}\\ y' x+y=0\\(xy)'=0\\ xy=C\\ y=\frac{C}{x}\)

2)
\(y \frac{dy}{dx} + x = 1\\ y\frac{dy}{dx}=1-x\\ \frac{y^2}{2}=x-\frac{x^2}{2}+C\)
To jest rozwiązanie w postaci uwikłanej, można z tego zrobić
\(y=\pm \sqrt{2x-x^2+2C}\), ale można się jeszcze zastanowić, czy da się w jakimś punkcie skleić te postaci tak, by wyszła funkcja różniczkowalna (choć zwykle pomija się takie rozważania).

3)
\(y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0\\ \frac{y}{1-y}dy+\frac{x}{1+x}dx=0\\ -y-\ln|1-y|+x-\ln|1+x|=C\)
Tu raczej nic mądrego nie zrobimy, jest to rozwiązanie w postaci uwikłanej.

4)
\(xy'-y=y^2\\ \frac{y'}{y+y^2}=\frac 1 x\\ \ln|y|-\ln|y+1|=\ln|x|+C\\ \frac{y}{y+1}=C_1 x\\ y=\frac{C_1 x}{1-C_1 x}\)
gdzie \(C_1\) to dowolna stała (dałem ten indeks, bo to nie ta sama, co \(C\)).


5)
\(\frac{dy}{dx}+ \frac{y}{x}=2, y(1)=2\)
Mnożymy przez \(x\) i mamy:
\(x\frac{dy}{dx}+y=2x\\\frac{d}{dx}\left(xy \right) =2x\\ xy=x^2+C\\ y=x+\frac{C}{x}\)
Podstawiając \(x=1\) i korzystając z warunku \(y(1)=2\), mamy
\(y(1)=1+C\\ 2=1+C\\C=1\)
i ostatecznie rozwiązaniem jest:
\(y=x+\frac 1 x\)

6)

\(y'- \frac{y}{x}=e ^{ \frac{y}{x} }\)
Tutaj (poprzednio też można było tak postąpić, ale IMHO na siłę) podstawy \(y=ux\), gdzie \(u\) jest funkcją zmiennej \(x\). Dostajemy:
\(xu'+u-u=e^u\\ u'e^{-u}=\frac 1 x\\-e^{-u}=\ln |x|+C\\ u=-\ln(-\ln|x|-C)\\ y=ux=-x\ln(-\ln|x|-C)\)

7)

\(y'- \frac{y}{x} = \left({\sin \frac{y}{x}}\right)^{2}\)
Tutaj nie ma niespodzianki, również podstawiamy \(y=ux\) (warto zapamiętać to podstawienie).
Otrzymujemy:
\(xu'+u-u=\sin^2 u\\ \frac{u'}{\sin^2 u}=\frac 1 x\\-\ctg u=\ln|x|+C\\ -\ctg\left( \frac y x\right)=\ln|x|+C\\ \ctg\left( \frac y x\right)+\ln|x|+C=0\)
i szczerze w takiej postaci bym to zostawił, bo nie zawsze jest \(\arcctg(\ctg t)=t\). Można to sobie rozwikłać na odpowiednim kawałku dziedziny, w zależności od potrzeb.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: Rozbitek » 6 kwie 2019, o 01:26

Premislav pisze: 3)
\(y+xy+(x-xy) \frac{dx}{dy}=0\\ \frac{y}{1-y}dy+\frac{x}{1+x}dx=0\)
Nie rozumiem tego przejścia, mógłbyś wyjaśnić?
Premislav pisze:
3)
\(-y-\ln|1-y|+x-\ln|1+x|=C\)
Tu raczej nic mądrego nie zrobimy, jest to rozwiązanie w postaci uwikłanej.
Na nas profesor krzyczy, że to nie jest żadne rozwiązanie w postaci uwikłanej, tylko całka równania różniczkowego.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: Premislav » 6 kwie 2019, o 01:48

Rozbitek pisze:Nie rozumiem tego przejścia, mógłbyś wyjaśnić?
Podzieliłem sobie stronami przez \((1+x)(1-y)\) (właściwie to ten zapis jest dość nieformalny). Jak ktoś tak nie lubi, to zostają metody z tego wątku, warto je znać: 362662.htm
Na nas profesor krzyczy, że to nie jest żadne rozwiązanie w postaci uwikłanej, tylko całka równania różniczkowego.
Why not both? Każde rozwiązanie równania różniczkowego to całka równania różniczkowego. Zresztą mniejsza, nie będę się kłócić o nazewnictwo (choć jak pamiętam mnie tak uczono), ja równania różniczkowe zdałem dawno temu, rzadko korzystam, możliwe, że jakieś nazwy przekręcam.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 487
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Post autor: Rozbitek » 6 kwie 2019, o 01:59

Premislav, dzięki.
Każde rozwiązanie równania różniczkowego to całka równania różniczkowego.
Ale odwrotnie już nie i może o to chodzi. Albo profesor lubi się czepiać.

ODPOWIEDZ