Równanie Riccatiego.

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Raziel95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 4 gru 2016, o 14:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie Riccatiego.

Post autor: Raziel95 » 3 kwie 2019, o 17:27

Mam równanie:
\(t^{2}x' + tx + t^{2}x^{2} =4\)

Sprowadzam do postaci równania Riccatiego.
\(x' = \frac{4}{ t^{2} } - \frac{x}{t} - x^{2}\)

I teraz mam problem. Wiem, że należy zastosować podstawienie \(x = x_{1} + u\)
Tylko jak wyliczyć \(x_{1}\)?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie Riccatiego.

Post autor: kerajs » 3 kwie 2019, o 18:02

Tę jedną całkę szczególną należy wcześniej znać lub po prostu ją zgadnąć.
\(x_1= \frac{2}{t}\)

Raziel95
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 4 gru 2016, o 14:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równanie Riccatiego.

Post autor: Raziel95 » 3 kwie 2019, o 18:03

Zgadnąć? W jaki sposób?

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie Riccatiego.

Post autor: kerajs » 3 kwie 2019, o 18:45

Hmm, nie znam przepisu na zgadywanie.

Patrząc na pierwsze równanie pomyślałem że przy \(x= \frac{A}{t}\) po lewej stronie \(t\) się skrócą dając pewną stałą.
Pozostało wyliczyć takie A, aby ta stała wynosiła 4.
\(t^2 \cdot \frac{-A}{t^2}+ t \cdot \frac{A}{t}+t^2( \frac{A}{t}) ^2=4\\ -A+A+A^2=4\\ A=2 \vee A=-2\)

ODPOWIEDZ