Matematyka.pl

Dane jest równanie \(\displaystyle{ (1+x+ x^{2}) ^{2} = \frac{a+1}{a-1} \cdot (1 + x^{2} + x^{4})}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) - parametr rzeczywisty. Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) równanie ma rozwiązania? Wyznaczyć te rozwiązania

Oczywiście \(\displaystyle{ a\neq 1}\). Odnotujmy, że dla \(\displaystyle{ x=1}\) mamy rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ \frac{a+1}{a-1}=3}\), natomiast \(\displaystyle{ x=-1}\) jest rozwiązaniem dokładnie wtedy, kiedy \(\displaystyle{ \frac{a+1}{a-1}=\frac 1 3}\). Niech teraz \(\displaystyle{ x\in \RR\setminus \left\{ -1,1\right\}}\). Wówczas jest
\(\displaystyle{ 1+x+x^2=\frac{x^3-1}{x-1}}\) oraz \(\displaystyle{ 1+x^2+x^4=\frac{x^6-1}{x^2-1}}\), czyli równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \frac{(x^3-1)^2}{(x-1)^2}=\frac{a+1}{a-1}\cdot \frac{x^6-1}{x^2-1}}\),
możemy podzielić stronami przez \(\displaystyle{ x^3-1}\) i pomnożyć stronami przez \(\displaystyle{ (x+1)(x-1)^2}\) i dostajemy
\(\displaystyle{ (x-1)(x^3+1)\frac{a+1}{a-1}=(x^3-1)(x+1)}\)
czyli
\(\displaystyle{ (a+1)(x^4-x^3+x-1)=(a-1)(x^4+x^3-x-1)}\),
tj.
\(\displaystyle{ 2x^4-2ax^3+2ax-2=0}\)
a to z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych rozkładamy:
\(\displaystyle{ (x^2-1)(2x^2-2ax+2)=0}\)
Rozważamy teraz przypadek \(\displaystyle{ x^2\neq 1}\), więc wystarczy rozwiązać równanie kwadratowe
\(\displaystyle{ 2x^2-2ax+2=0}\). Tę wątpliwą rozkosz Ci pozostawię.

Można jeszcze na pałę skrócić przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) jak się zauważy, że \(\displaystyle{ x^4+x^2+1=x^4+2x^2+1-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1)}\). Wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) nigdy się nie zeruje w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), więc generalnie możemy je olać i rozważyć \(\displaystyle{ x^2+x+1=\frac{a+1}{a-1}(x^2-x+1)}\). Żeby się lepiej patrzyło, to podstawmy sobie \(\displaystyle{ k=\frac{a+1}{a-1}}\). Po ogarnięciu tego równania otrzymujemy \(\displaystyle{ (k-1)x^2+(-k-1)x+k-1=0}\), no i teraz bardzo łatwo napisać jakie warunki muszą zachodzić, żeby miało rozwiązanie.