pierwiastki całkowite równania kwadratowego z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

pierwiastki całkowite równania kwadratowego z parametrem

Post autor: matekleliczek » 8 paź 2007, o 23:42

dla jakiego są pierwiastki całkowite

\(\displaystyle{ (m-1)x^2-(m^2+1)x+m^2+m=0}\) parametrem jest m tak dla jasności
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

pierwiastki całkowite równania kwadratowego z parametrem

Post autor: scyth » 9 paź 2007, o 08:10

\(\displaystyle{ (m-1)x^2-(m^2+1)x+m^2+m=(m-1)x^2-x[m(m-1)+(m+1)]+m(m+1)=\\=
x(m-1)(x-m)-(m+1)(x-m)=(x-m)[x(m-1)-(m+1)]}\)


A więc gdy:
\(\displaystyle{ m \ne 1 \ x=m x=\frac{m+1}{m-1} \\
m=1 x=1}\)


Z pierwszego warunku wiemy, że \(\displaystyle{ m \mathbb{Z}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{m+1}{m-1} \mathbb{Z}}\). Rozwinięcie ułamka:
\(\displaystyle{ \frac{m+1}{m-1}=\frac{m-1+2}{m-1}=1+\frac{2}{m-1}}\)

Zatem możliwe wartości \(\displaystyle{ m}\) to te, dla których ułamek \(\displaystyle{ \frac{2}{m-1}}\) przyjmuje wartości całkowite, czyli \(\displaystyle{ m \{-1,0,2,3 \}}\).

Podsumowując równanie ma całkowite pierwiastki dla \(\displaystyle{ m \{-1,0,1,2,3 \}}\).

Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

pierwiastki całkowite równania kwadratowego z parametrem

Post autor: matekleliczek » 9 paź 2007, o 19:48

wielkie dzięki nie wymyślił bym tego chyba

ODPOWIEDZ