Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ a}\) układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin x\sin y=\frac14\\ \cos x\cos y=a\end{cases}}\)

ma rozwiązanie?

Dodając i odejmując stronami mam:
\(\displaystyle{ \cos(x+y)=a- \frac{1}{4} \ \ \wedge \ \ \cos(x-y)=a+ \frac{1}{4}}\)
Oba kosinusy istnieją gdy
\(\displaystyle{ \begin{cases} -1 \le a- \frac{1}{4} \le 1 \\ -1 \le a+ \frac{1}{4} \le 1 \end{cases}}\)

To jest tylko warunek konieczny

Raczej wystarczający.

Układ kombinacji liniowych powyższych równań ma takie samo rozwiązanie jak układ pierwotny.