Objętość czworościanu

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Objętość czworościanu

Post autor: CzarQ » 2 kwie 2019, o 03:11

Wyznacz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt znajdujący się w dodatniej "ćwiartce" tak aby powstały czworościan na przecieciu z osiami miał jak najmniejszą objętość. Wydaje mi się że ta płaszczyzna musi dzielić na osiach równe części tylko nie za bardzo wiem jak to pokazać funkcją wielu zmiennych za pomocą ekstremum. Ma ktoś jakiś pomysł?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Objętość czworościanu

Post autor: a4karo » 2 kwie 2019, o 06:29

Zacznij może od napisania czegoś. Np. oznaczenie tego punktu jakąś literą? Od napisania równania płaszczyzny przechodzącej przez ten punkt. Od wyliczenia punktów przecięcia z osiami.

Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Objętość czworościanu

Post autor: CzarQ » 2 kwie 2019, o 12:23

Rozpisałem ale wydaje mi się że źle się do tego zabieram. To jest to co mam:

Punkt przez który przechodzi płaszczyzna \(\displaystyle{ P(x_0,y_0,z_0), x_0,y_0,z_0>0}\).
Wektor normalny płaszczyzny \(\displaystyle{ n[A,B,C]}\).
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P}\) to \(\displaystyle{ A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}\).
Punkty które przecinają się z osiami (czyli te które wyznaczają wierzchołki czworościanu) \(\displaystyle{ K(k,0,0), I(0,i,0), J(0,0,j)}\).
Objętość będzie najmniejsza wtedy gdy \(\displaystyle{ k \cdot i \cdot j}\) osiąga minimum.
Potem podstawiłem te punkty do równanie płaszczyzny i dostaje 3 równania:
\(\displaystyle{ -x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+C \cdot j=0 \\ -x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+B \cdot i=0 \\ -x_0 \cdot A-y_0 \cdot B-z_0 \cdot C+A \cdot k=0.}\)
Wychodzi z tego że \(\displaystyle{ A \cdot k=B \cdot i=C \cdot j.}\)

I w tym momencie nie wiem co robić. Jak wyznaczyć wektor normalny
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 17:17 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Zdanie kończymy kropką.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Objętość czworościanu

Post autor: a4karo » 2 kwie 2019, o 12:47

A jaką wartośc masz zminimalizować? Wylicz ją w zależności od niewiadomych \(\displaystyle{ A,B,C}\)

Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Objętość czworościanu

Post autor: CzarQ » 2 kwie 2019, o 13:54

Zminimalizować mam \(\displaystyle{ k \cdot i \cdot j}\) tylko nie za bardzo wiem jak ułożyć równanie z którego mogę policzyć ekstremum.

-- 2 kwi 2019, o 12:59 --

Jedyne co przychodzi mi na myśl to wyliczyć np \(\displaystyle{ k,j}\) i z tego wychodzi \(\displaystyle{ k=\frac{B}{A} \cdot i, j=\frac{B}{c} \cdot i}\). Czyli minimum musi osiągać wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{i^3B^2}{C \cdot A}}\). Ale co dalej z tym to też nie wiem.
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 17:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Zdanie kończymy kropką. Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Objętość czworościanu

Post autor: a4karo » 2 kwie 2019, o 14:48

A z tych trzech równań potrafisz obliczyć \(\displaystyle{ i,j,k}\) odpowiednio?

Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Objętość czworościanu

Post autor: CzarQ » 2 kwie 2019, o 14:56

Potrafię, a jak je już wylicze to potem mam je podstawić do \(\displaystyle{ i \cdot j \cdot k}\) i z tego liczyć ekstremum warunkowe w którym warunkiem jest równanie płaszczyzny?
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 17:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Objętość czworościanu

Post autor: a4karo » 2 kwie 2019, o 15:23

No nie, bo równanie płaszczyzny nie jest dane.
Otrzymasz funkcję postaci \(\displaystyle{ V(A,B,C)}\) i masz policzyć jej minimum.

Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Objętość czworościanu

Post autor: Hydra147 » 2 kwie 2019, o 16:34

Z racji, że płaszczyzna dająca minimalną objętość pozostanie ją w dowolnym przekształceniu afinicznym, musi być prawdą, że ów punkt będzie środkiem ciężkości trójkąta, który płaszczyzna odcina od pierwszego oktantu. Ten łatwo jednak znaleźć - wystarczy bowiem punkt dzielący odcinek środek uładu współrzędnych-szukany punkt w stosunku \(\displaystyle{ -1,5}\) zrzutować na osie układu współrzędnych.
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 20:37 przez Hydra147, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Objętość czworościanu

Post autor: CzarQ » 2 kwie 2019, o 16:50

Po obliczeniu pochodnych cząstkowych i ich miejsc zerowych wychodzi że \(\displaystyle{ B= A \cdot \frac{x}{y} \wedge C=A \cdot \frac{x}{z} \wedge A>0}\). Czy takie coś jest dobrze? Bo wydaje mi się coś źle, bo \(\displaystyle{ A}\) jest nie określone. Obliczenia wszystkie robil wolfram alpha.

-- 2 kwi 2019, o 15:54 --

Hydra147, mógłbyś wytłumaczyć jak na podstawie środka ciężkości wyznaczyć wierzchołki? Bo nie za bardzo rozumiem jak to zrzutować. Najlepiej na jakimś konkretnym przykładzie.
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 17:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Zdanie kończymy kropką. Poprawa wiadomości.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Objętość czworościanu

Post autor: a4karo » 2 kwie 2019, o 17:10

Obliczenia powinieneś zrobić sam. Licho wie co tam do Wolframa wsadziłeś.
A poza tym skąd mam wiedzieć czy jest dobrze, jak nie pokazujesz żadnych obliczeń.

Awatar użytkownika
CzarQ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 6 lut 2018, o 19:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krakow

Re: Objętość czworościanu

Post autor: CzarQ » 2 kwie 2019, o 17:16

Tylko te obliczenia są dość długie i trudne więc wtedy zajęło by to za dużo czasu. Chodzi mi o to bardziej czy możliwe jest że takich czworościanow jest nieskończenie wiele? Myślałem że jest on zawsze wyznaczany jednoznacznie.-- 2 kwi 2019, o 18:54 --Więc wszystkie obliczenia po kolei:

\(\displaystyle{ j= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{C}}\)
\(\displaystyle{ i= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{B}}\)
\(\displaystyle{ k= \frac{A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0}{A}}\)

Do równania \(\displaystyle{ i\cdot j \cdot k}\) wstawiam te wartości i otrzymuje:
\(\displaystyle{ \frac{(A\cdot x_0+B\cdot y_0 + C\cdot z_0)^3}{A\cdot B\cdot C}}\) i ta funkcja ma osiągać minimum.

Teraz pochodna po \(\displaystyle{ A, B, C}\) ma równać się \(\displaystyle{ 0}\). I Tu zaczynam używać wolfram alpha (możliwe że robię coś źle bo nie da się obliczyć wszystkich wszystkich 3 równań jednocześnie tylko max dwa).
i wynik wychodzi:
\(\displaystyle{ B= \frac{A\cdot x_0}{y_0}}\), \(\displaystyle{ C= \frac{A\cdot x_0}{z_0}}\), \(\displaystyle{ A>0}\)

I teraz wydaje mi się że coś jest nie tak, bo to trochę dziwne że jest nieskończenie wiele takich czworościanów.
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 17:21 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Zdanie kończymy kropką.

Hydra147
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 268
Rejestracja: 31 mar 2013, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Objętość czworościanu

Post autor: Hydra147 » 2 kwie 2019, o 20:45

Jeśli twój punkt ma współrzędne \(\displaystyle{ (x,y,z)}\), to szukany przez Ciebie trójkąt ma wierzchołki \(\displaystyle{ (3x,0,0)}\), \(\displaystyle{ (0,3y,0)}\), \(\displaystyle{ (0,0,3z)}\).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Objętość czworościanu

Post autor: a4karo » 2 kwie 2019, o 22:08

Powtarzam: nie używaj Wolframa tylko licz sam. Inaczej niczego sie nie nauczysz.

Wylicz pochodne tej funkcji po \(\displaystyle{ A,\ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) i przyrównaj je do zera.

ODPOWIEDZ