Przyjmiemy oznaczenia z rysunku.
\(\displaystyle{ |SC|=R}\) - Długość promienia okręgu opisanego na trójkącie
\(\displaystyle{ ABC}\)
\(\displaystyle{ |OE|=r}\) - Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt
\(\displaystyle{ ABC}\)
Teza:
\(\displaystyle{ |CO|\cdot|OD|=2\cdot R \cdotr}\)
Dowód:
Rozpoczniemy od przekształcenia tezy:
\(\displaystyle{ |CO|\cdot|OD|=2Rr \ |:r\ (r>0)}\)
\(\displaystyle{ 2R= \frac{|CO|\cdot|OD|}{r}}\)
Z twierdzenia sinusów wiemy że
\(\displaystyle{ 2R=\frac{|CB|}{\sin \alpha }}\)
\(\displaystyle{ \frac{|CB|}{\sin \alpha }=\frac{|CO| \cdot |OD|}{r} \ |\cdot r\sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ |CB|\cdot r=|CO|\cdot |OD|\cdot \sin \alpha \ |\cdot \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{|CB|\cdot r}{2}=\frac{1}{2}|CO|\cdot |OD|\cdot \sin \alpha}\)
Jako że:
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup COB}=\frac{|CB|\cdot r}{2}}\)
\(\displaystyle{ P_{\bigtriangleup COB}=\frac{1}{2}|CO|\cdot |OD|\cdot \sin \alpha \ |:\frac{1}{2}|CO|}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{\bigtriangleup COB}}{0,5|CO|}=|OD|\cdot \sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ |BF|=|OD|\cdot \sin \alpha}\)
Jako że:
\(\displaystyle{ \sphericalangle CAB=\sphericalangle CDB= \alpha}\), ponieważ są to kąty wpisane w okrąg oparte na tym samym łuku.
Korzystając z własności trygonometrycznych kąta
\(\displaystyle{ \alpha}\) w trójkącie
\(\displaystyle{ BFD}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \sin \alpha =\frac{|BF|}{|BD|}}\) więc:
\(\displaystyle{ |BF|=|OD|\cdot \frac{|BF|}{|BD|} \ |\cdot \frac{|BD|}{|BF|}}\)
\(\displaystyle{ |OD|=|BD|}\)
Rozpiszmy miary kątów trójkąta
\(\displaystyle{ ODB}\):
\(\displaystyle{ \sphericalangle ODB= \alpha}\)
Co uzasadniliśmy wcześniej.
\(\displaystyle{ \sphericalangle DBO= \sphericalangle ABD + \sphericalangle ABO = \frac{1}{2}\gamma+\frac{1}{2}\beta}\)
Miara kąta
\(\displaystyle{ ABO}\) jest równa połowie miary kąta beta, ponieważ
\(\displaystyle{ BO}\) to dwusieczna kąta beta.
Miara kąta
\(\displaystyle{ ABD}\) jest równa połowie miary kąta gamma, ponieważ jest to kąt wpisany w okrąg, oparty na tym samym łuku co kąt
\(\displaystyle{ ACD}\).
Korzystając z faktu że
\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \sphericalangle DOB= \frac{1}{2}\gamma+\frac{1}{2}\beta}\)
Jako że
\(\displaystyle{ \sphericalangle DOB=\sphericalangle DBO}\), to trójkąt
\(\displaystyle{ BOD}\) jest równoramienny.
Co dowodzi
\(\displaystyle{ |OD|=|BD|}\) i kończy dowód.