Matematyka.pl

W układzie współrzędnych narysować zbiór wszystkich punktów o współrzędnych \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\), dla których wszystkie pierwiastki równania \(\displaystyle{ ax ^{2} +2bx +4a = 0}\) są większe od \(\displaystyle{ 1}\).

1)
\(\displaystyle{ a=0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ 2bx=0}\) co daje:
\(\displaystyle{ \left[ \left( b \neq 0\right) \wedge \left( x=0\right) \right] \vee \left[ \left( b = 0\right) \wedge \left( x \in \RR \right) \right]}\)
Oba rozwiązania nie spełniają warunków zadania.

2) \(\displaystyle{ a \neq 0}\)
Wtedy \(\displaystyle{ x^2+ \frac{ 2b}{a} x+4=0}\)
Kiedy parabola \(\displaystyle{ y= x^2+ \frac{ 2b}{a} x+4}\) ma miejsca zerowe tylko dla \(\displaystyle{ x>1}\)?
Gdy :
\(\displaystyle{ \begin{cases} y(1)>0 \\ x_w>1 \\ y_w \le 0 \end{cases}}\)
wstawiając współrzędne wierzchołka dostaję:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 1+ \frac{ 2b}{a} +4>0 \\ \frac{-\frac{ 2b}{a}}{2} >1 \\ \frac{-\Delta}{4} \le 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{ 2b}{a} >-5 \\ -\frac{ b}{a} >1 \\ (\frac{b}{a})^2-4 \ge 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a>0 \\ 2b >-5a \\ - b >a \\ (b-2a)(b+2a) \ge 0 \end{cases} \vee \begin{cases} a<0 \\ 2b <-5a \\ - b <a \\ (b-2a)(b+2a) \ge 0 \end{cases}}\)
A te obszary pewnie potrafisz narysować.

PS
Oczywiście to nie jest jedyne możliwe rozwiązanie. Np: można sprytnie zastosować wzory Viety albo walczyć z samymi pierwiastkami.