Matematyka.pl

Nie daję rady ogarnąć tego zadania. Jak do niego podejść?


Funkcja użyteczności Aliny ma postać \(\displaystyle{ UC(X,Y)=(X+3)(Y+9)}\), gdzie \(\displaystyle{ X}\) oznacza liczbę kanapek, a \(\displaystyle{ Y}\) jest liczbą jogurtów.

a) Jakie będzie nachylenie krzywej obojętności Aliny w punkcie, w którym wybierze ona koszyk dóbr \(\displaystyle{ (6, 9)}\)? Przedstaw to na wykresie.

b) Jakie jest równanie krzywej obojętności przechodzące przez punkt \(\displaystyle{ (6, 9)}\)?

c) Przyjaciel Aliny proponuje jej zmianę dotychczasowego koszyka, oferując w zamian za 3 kanapki 12 jogurtów. Decydując się na tę zmianę, jaki koszyk dóbr będzie miała Alina?

Oceń, czy Alina podjęła dobrą decyzję? Zaznacz na wykresie ten nowy koszyk.

Robert

Na początek: Narysuj sobie pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych i nazwij osie oczywiście \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\).

Teraz: Powiedzmy na przykład, że funkcja użyteczności \(\displaystyle{ UC(X,Y)}\) jest równa pewnej wartości - dla przykładu \(\displaystyle{ 90}\). Oczywiście takie równanie \(\displaystyle{ UC(X,Y)=90}\) jest spełnione dla par \(\displaystyle{ (X,Y)}\) i to je zaznaczamy na wykresie, ponieważ wszystkie rozwiązania wyznaczają krzywą.

Dany przykład w Wolfram Alpha:


Co do podpunktów:

a) Jeżeli dobrze wiem jest to ujemny stosunek krańcowych stóp substytucji. Krańcową stopą substytucji dobra \(\displaystyle{ X}\) nazywamy po prostu pochodną \(\displaystyle{ UC(X,Y)}\) po \(\displaystyle{ X}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ MRS(X,Y) = -\frac{d(UC(X,Y))x}{d(UC(X,Y))y}=-\frac{Y+9}{X+3}}\)

I w punkcie \(\displaystyle{ (6,9)}\) :

\(\displaystyle{ -\frac{15}{12}=-\frac{5}{4}=-1.25}\)

b) Równanie tej krzywej to oczywiście funkcja użyteczności \(\displaystyle{ UC(X,Y)}\) równa jej samej w danym punkcie:

\(\displaystyle{ UC(X,Y)=U(6,9)=(6+3)\cdot (9+9)= 9\cdot 18= 162}\)

c) Możemy wyliczyć użyteczność tego drugiego koszyka:

\(\displaystyle{ UC(3,12)=(3+3)\cdot (12+9)=6\cdot 21= 126}\)

W takim razie jej koszyk dóbr będzie wynosił \(\displaystyle{ 126}\), oraz \(\displaystyle{ 126<162}\), więc jej decyzja była zła, ponieważ dany koszyk jest mniej użyteczny niż ten co był.

Dziękuję bardzo za pomoc.
Wkradły się małe błędy


\(\displaystyle{ MRS(X,Y) = -\frac{d(UC(X,Y))x}{d(UC(X,Y))y}=-\frac{Y+9}{X+3}}\)

I w punkcie \(\displaystyle{ (6,9)}\) :

\(\displaystyle{ -\frac{9+9}{6+3}=-\frac{18}{9}=-2}\)

Ten minus bardzo denerwuje ponieważ raz jest a innym razem go nie ma


c) Możemy wyliczyć użyteczność tego drugiego koszyka:

Nowy \(\displaystyle{ X=6-3=3}\)
Nowy \(\displaystyle{ Y=9+12=21}\)

\(\displaystyle{ UC(3,21)=(3+3)\cdot (21+9)=6\cdot 30= 180}\)

W takim razie jej koszyk dóbr będzie teraz wynosił \(\displaystyle{ 180}\), oraz \(\displaystyle{ 180>162}\), więc jej decyzja była dobra, ponieważ dany koszyk jest bardziej użyteczny niż ten co był.