Udowodnij nierówność wykorzystując rachunek różniczkowy

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
MultiGumis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 15 lis 2018, o 13:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy

Udowodnij nierówność wykorzystując rachunek różniczkowy

Post autor: MultiGumis » 25 mar 2019, o 18:53

\(\displaystyle{ 2x \cdot \arctan x \ge \ln (1+x ^{2})}\)

Jak się udowadnia tego typu nierówności? Istnieje jakiś schemat udowadniania?
Ostatnio zmieniony 25 mar 2019, o 19:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14920
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 132 razy
Pomógł: 4939 razy

Udowodnij nierówność wykorzystując rachunek różniczkowy

Post autor: Premislav » 25 mar 2019, o 19:00

Tak, istnieje pewien schemat, nawet pewnie więcej niż jeden.

Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=2x\arctan x - \ln (1+x ^{2})}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest parzysta, więc wystarczy pokazać, że jest ona nieujemna dla \(\displaystyle{ x\ge 0}\).
Mamy \(\displaystyle{ f(0)=0}\), a także dla \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{2x}{1+x^2}+2\arctan x-\frac{2x}{1+x^2}=2\arctan x>0}\)
Czyli \(\displaystyle{ f}\) jest rosnąca w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\), a zatem dla dowolnego \(\displaystyle{ x\ge 0}\) mamy
\(\displaystyle{ f(x)\ge 0}\), czyli \(\displaystyle{ 2x\arctan x\ge \ln (1+x^2)}\), c.n.d.
Ostatnio zmieniony 25 mar 2019, o 19:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Udowodnij nierówność wykorzystując rachunek różniczkowy

Post autor: PoweredDragon » 25 mar 2019, o 19:11

Kilka schematów można znaleźć

\(\displaystyle{ f(x) \ge g(x) \\ h(x) := f(x)-g(x) \ge 0}\)

I można np. pokazać, że w punkcie \(\displaystyle{ x_0}\) jest równość; na lewo od \(\displaystyle{ x_0}\) funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest malejąca, a na prawo rosnąca. (w szczególności \(\displaystyle{ x_0 =0}\) i \(\displaystyle{ h}\) może być parzysta tak jak tutaj )

Można np. pokazać, że \(\displaystyle{ h}\) ma ekstrema lokalne i każde z nich jest dodatnie

Może trywializuje się pokazanie, że
\(\displaystyle{ e^{f(x)-g(x)} > 1}\)

Metod jest multum, a która zadziała? To zależy od konkretnego przypadku...
Ostatnio zmieniony 25 mar 2019, o 19:14 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie należy umieszczać dwóch symboli obok siebie. Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14920
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 132 razy
Pomógł: 4939 razy

Re: Udowodnij nierówność wykorzystując rachunek różniczkowy

Post autor: Premislav » 25 mar 2019, o 19:18

Tutaj można też zastosować twierdzenie Cauchy'ego o wartości średniej: dla \(\displaystyle{ x=0}\) zachodzi równość, zaś dla \(\displaystyle{ x>0}\) istnieje takie \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\), że:
\(\displaystyle{ \frac{\arctg x-\arctg 0}{\ln(1+x^2)-\ln(1+0)}=\frac{\frac{1}{c^2+1}}{\frac{2c}{c^2+1}}=\frac{1}{2c}}\)
i skoro \(\displaystyle{ c\in(0,x)}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{2c}>\frac{1}{2x}}\)

No a jeśli chodzi o \(\displaystyle{ x<0}\), to ponownie korzystamy z parzystości.

-- 25 mar 2019, o 19:25 --

Przypomniało mi się też, że tutaj: 208702.htm jest wątek poświęcony dowodzeniu nierówności za pomocą twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej, akurat tutaj raczej się nie przyda, ale często się przydaje.

ODPOWIEDZ