Maksymalna wartość wyrażenia

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
TorrhenMathMeth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 196
Rejestracja: 14 gru 2017, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedliska

Maksymalna wartość wyrażenia

Post autor: TorrhenMathMeth » 25 mar 2019, o 10:58

Dane są liczby \(A,B>0\) oraz \(n \in \mathbb{N}\). Znaleźć maksymalną wartość wyrażenia \(\prod_{i=1}^{n}\frac{a_{i}}{a_{i-1}+a_{i}}\) gdy \(a_{0},...,n_{n}\) są liczbami dodatnimi, oraz \(a_{0}=A \ \ a_{n}=B\)

Zadanie ma mieć związek z wypukłością/wklęsłością funkcji, być może nierównością Jensena i ogólnie rachunkiem różniczkowym.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14147
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Maksymalna wartość wyrażenia

Post autor: Premislav » 25 mar 2019, o 12:05

Zapiszmy to wyrażenie w postaci:
\(\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{\frac{a_{i-1}}{a_i}+1}\)
i podstawmy \(x_i=\frac{a_{i-1}}{a_i}\), wówczas oczywiście \(\prod_{i=1}^{n}x_i=\frac{A}{B}\) i wtedy mamy oszacować z góry
\(\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i+1}\),
ale te ułamki są dodatnie, więc to jest równoznaczne z oszacowaniem z dołu wyrażenia
\(\prod_{i=1}^{n}(1+x_i)\) i wzięciem odwrotności.
Funkcja \(f(x)=\ln(1+e^x)\) jest wypukła (masz sobie to sprawdzić, to Ty studiujesz, a nie ja), zatem na mocy nierówności Jensena:
\(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\ln\left( 1+e^{\ln x_i}\right) \ge \ln\left( 1+e^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\ln x_i }\right) =\ln\left( 1+ \sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n}x_i } \right)\)
Teraz korzystamy z tego, że \(f(t)=e^t\) jest rosnąca, by pozbyć się logarytmów i dostajemy z powyższego:
\(\sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n}(1+x_i) }\ge 1+\sqrt[n]{ \prod_{i=1}^{n}x_i }\)
Ostatecznie więc otrzymujemy, że
\(\prod_{i=1}^{n}(1+x_i)\ge \left( 1+\sqrt[n]{\frac{A}{B}}\right)^n\), czyli
\(\prod_{i=1}^{n}\frac{1}{{1+x_i}}\le \left( 1+\sqrt[n]{\frac{A}{B}}\right)^{-n}\)
Aha, równość zachodzi dla równych zmiennych.

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2089
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie

Maksymalna wartość wyrażenia

Post autor: Zahion » 25 mar 2019, o 14:10

Tutaj też idzie z Hoeldera:
\(\prod_{i=1}^{n}(1+x_i) \ge \left( 1 + \sqrt[n]{ \prod_{}^{} x_{i}} \right)^{n} = \left( 1 + \sqrt[n]{\frac{A}{B}} \right)^{n}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14147
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Maksymalna wartość wyrażenia

Post autor: Premislav » 25 mar 2019, o 14:36

Słusznie, tylko autor wątku pisał o Jensenie, dlatego z tego kminiłem. Ten szczególny przypadek uogólnionej nierówności Höldera (z jedynkami i równymi wykładnikami) nazywa się też nierównością Huygensa. Por. 28103.htm

Jeszcze co do warunku z równością: miałem na myśli, że równość zachodzi wtedy, gdy \(x_1=\ldots=x_n\), czyli wracając do naszych \(a_i\):
\(\frac{A}{a_1}=\frac{a_1}{a_2}=\ldots=\frac{a_{n-1}}{B}\)
Może (przynajmniej jak jest się mało spostrzegawczym, jak ja) nie od razu widać, czy i dlaczego ten układ równań ma rozwiązania (a to nam jest potrzebne do maksymalizacji), dlatego warto najpierw rozważyć małe przypadki \(n=2, n=3\) jeśli o ten układ chodzi.
Dla \(n=2\) otrzymujemy, że musi być \(a_1=\sqrt{AB}\) i wtedy układ
\((a_0, a_1, a_2)=\left( A, \sqrt{AB}, B\right)\) realizuje równość, natomiast dla \(n=3\) mamy
\(\begin{cases} \frac{A}{a_1}=\frac{a_1}{a_2}\\ \frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{B}\end{cases}\)
stąd \(a_1^2=Aa_2\) oraz \(a_2^2=a_1B\), oczywiście interesują nas \(a_i>0\), więc pierwiastkując pierwsze równanie i wstawiając do drugiego za \(a_1\) mamy
\(a_2=A^{\frac 1 3}B^{\frac 2 3}\), zaś pierwiastkując drugie równanie i wstawiając do pierwszego równania za \(a_2\) otrzymujemy \(a_1=A^{\frac 2 3}B^{\frac 1 3}\).
Czyli dla \(n=3\) realizuje nam równość układ
\(\left( a_0, a_1, a_2, a_3\right)= \left(A, A^{\frac 2 3}B^{\frac 1 3}, A^{\frac 1 3}B^{\frac 2 3}, B\right)\)
Teraz już widać ogólną zasadę: równość w nierówności, którą żeśmy z Zahionem udowodnili, zachodzi (w wyjściowych zmiennych) dla
\(a_k=A^{ \frac{n-k}{n} }B^{ \frac{k}{n} }, k=0,1, \ldots n\)

ODPOWIEDZ