Matematyka.pl

Mógłby mi ktoś wytłumaczyć jak wyznaczać estymatory nieobciążone? Znam definicję i jeśli mam podany estymator to potrafię sprawdzić czy jest obciążony czy nie. Chodzi o to, że nie mam pojęcia jak te estymatory wyznaczyć jak dla mnie to one biorą się totalnie z kapelusza

Hmm może prosty przykład Ci pomoże?

Niech \(\displaystyle{ X_i}\) będą obserwacjami z tej samej próby X,mają identyczny rozkład i są niezależne. (na przykład \(\displaystyle{ X_i\sim N(\mu,\sigma^2)}\) )

Niech \(\displaystyle{ E[X] = E[X_i] = \mu}\) (*)

Wtedy oczywiście:

\(\displaystyle{ E[\sum_{i=1}^n X_i] = \text{z niezal.} = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \text{z (*)} = \sum_{i=1}^n \mu = n\mu}\)

Co możemy zapisać też, następująco:

\(\displaystyle{ \frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n X_i] = E[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i] = \mu}\)

W takim razie jeżeli weźmiemy \(\displaystyle{ g(X)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i}\) to widzimy z definicji estymatora nieobciążonego, że \(\displaystyle{ g(X)}\) jest estymatorem nieobciążonym \(\displaystyle{ \mu}\)