Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Post autor: Skynet » 8 paź 2007, o 22:25

Jak spr czy poniższa funkcja jest prawdopodobieństwem:

Niech Ω= N oznacza zbiór liczb naturalnych, a \(\displaystyle{ F = 2^{\Omega}}\).
Zbadać czy poniższa funkcja \(\displaystyle{ P:F\rightarrow [0;1]}\) jest prawdopodobieństwem:
\(\displaystyle{ P(n) = \frac{1}{n}, n\in N}\)

Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Post autor: Emiel Regis » 8 paź 2007, o 22:28

\(\displaystyle{ P(\Omega)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=+\infty}\)
A prawdopodobieństwo omegi powinno wynosić 1.

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Post autor: Skynet » 8 paź 2007, o 22:39

A jak będzie w tym przypadku?
\(\displaystyle{ P(n) = \frac{a}{n^{2}},\ a>0\ -\ ustalone,\ n\in N}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Post autor: Emiel Regis » 8 paź 2007, o 22:50

\(\displaystyle{ P(\Omega)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a}{n^2}=\frac{a \pi^2}{6}}\)
Czyli tylko dla:
\(\displaystyle{ a=\frac{6}{\pi^2}}\) suma wynosi 1.

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Post autor: Skynet » 8 paź 2007, o 22:59

Wielkie dzięki. A mógłbyś w tym pomóc?
\(\displaystyle{ P(n) = \frac{(-1)^{n+1}\cdota}{n},\ a>0\ -\ ustalone,\ n N}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Post autor: Emiel Regis » 9 paź 2007, o 19:29

Nie widze nigdzie tam a.
Poza tym z chęcią posłucham jak interpretujesz że prawdopodobieństwo wynosi -1/2.

liu
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1330
Rejestracja: 10 paź 2004, o 13:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Suchedniów
Pomógł: 104 razy

Sprawdzić czy funkcje sa prawdopodobieństwem

Post autor: liu » 9 paź 2007, o 19:45

Te funkcje to sa z pupy, bo one sa \(\displaystyle{ \mathbb{N}\to \mathbb{R}}\), a nie \(\displaystyle{ \mathcal{F} \to \mathbb{R}}\).
Powinno byc \(\displaystyle{ P(\{n\}) = \frac{a}{n^2}}\) itp., no i rozszerzenie przez przeliczalna addytywnosc:)

ODPOWIEDZ