Czy to są normy

[Dejvid96]

E-przestrzeń ciągów ograniczonych, \(\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathbb{R}}\), gdzie \(\displaystyle{ x=\{x_n\}_{n=1}^\infty}\). Czy to są normy:
a) \(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{n}}\)
b) \(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}}\).
W przykładzie b mam takie rozważania:
\(\displaystyle{ 1. ||x||\ge 0}\)
\(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}}\), ponieważ \(\displaystyle{ |x_n|\ge 0}\) z własności wartości bezwzględnej i \(\displaystyle{ 2^n\ge 0}\) więc iloraz będzie większy lub równy 0, stąd suma również.
\(\displaystyle{ 2. ||x||=0\Leftrightarrow x=0}\)
\(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}=0\Leftrightarrow \forall i |x_i|=0\Leftrightarrow x=0=(0,0,0,...)}\)
\(\displaystyle{ 3. ||\alpha\cdot x||=|\alpha|\cdot||x||}\)
\(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|\alpha\cdot x_n|}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{|\alpha|\cdot|x_n|}{2^n}=|\alpha|\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}=|\alpha|\cdot||x||}\)
\(\displaystyle{ 4. ||x+y||\le||x||+||y||}\)
\(\displaystyle{ ||x+y||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n+y_n|}{2^n}\le\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|+|y_n|}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}+\sum_{n=1}^\infty \frac{|y_n|}{2^n}=||x||+||y||}\)
Nie wiem czy a) będzie wyglądać identycznie jak b) bo wydaje mi się, że suma \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{n}}\) nie będzie ograniczona, a suma z przykładu b) \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}}\) jest ograniczona. Proszę o sprawdzenie rozwiązania i pomoc

[a4karo]

Zapomniałeś o jednym warunku: norma jest funkcją o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych.
Musisz więc pokazać, że jeżeni \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczony, to \(\displaystyle{ ||x||}\) jest liczbą.

Jak słusznie podejrzewasz w przypadku b tak jest, a w a powinieneś skonstruować nietrudny kontrprzykład.