Czy to są normy

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Dejvid96
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 2 lis 2018, o 12:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Czy to są normy

Post autor: Dejvid96 » 23 mar 2019, o 00:49

E-przestrzeń ciągów ograniczonych, \(\{x_n\}_{n=1}^\infty\subset\mathbb{R}\), gdzie \(x=\{x_n\}_{n=1}^\infty\). Czy to są normy:
a) \(||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{n}\)
b) \(||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}\).
W przykładzie b mam takie rozważania:
\(1. ||x||\ge 0\)
\(||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}\), ponieważ \(|x_n|\ge 0\) z własności wartości bezwzględnej i \(2^n\ge 0\) więc iloraz będzie większy lub równy 0, stąd suma również.
\(2. ||x||=0\Leftrightarrow x=0\)
\(||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}=0\Leftrightarrow \forall i |x_i|=0\Leftrightarrow x=0=(0,0,0,...)\)
\(3. ||\alpha\cdot x||=|\alpha|\cdot||x||\)
\(||x||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|\alpha\cdot x_n|}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{|\alpha|\cdot|x_n|}{2^n}=|\alpha|\cdot\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}=|\alpha|\cdot||x||\)
\(4. ||x+y||\le||x||+||y||\)
\(||x+y||=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n+y_n|}{2^n}\le\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|+|y_n|}{2^n}=\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}+\sum_{n=1}^\infty \frac{|y_n|}{2^n}=||x||+||y||\)
Nie wiem czy a) będzie wyglądać identycznie jak b) bo wydaje mi się, że suma \(\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{n}\) nie będzie ograniczona, a suma z przykładu b) \(\sum_{n=1}^\infty \frac{|x_n|}{2^n}\) jest ograniczona. Proszę o sprawdzenie rozwiązania i pomoc

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16759
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Czy to są normy

Post autor: a4karo » 23 mar 2019, o 07:54

Zapomniałeś o jednym warunku: norma jest funkcją o wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych.
Musisz więc pokazać, że jeżeni \(x\) jest ograniczony, to \(||x||\) jest liczbą.

Jak słusznie podejrzewasz w przypadku b tak jest, a w a powinieneś skonstruować nietrudny kontrprzykład.

ODPOWIEDZ