Matematyka.pl

Czy podane normy są równoważne ze standardową normą na \(\displaystyle{ \math{l}^1}\), gdzie \(\displaystyle{ \{c_i\}_{i=1}^\infty}\) oznacza ustalony ciąg z \(\displaystyle{ c_i\in[m,M] m,M>0}\).
\(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^\infty c_n\cdot|x_n|}\)
\(\displaystyle{ ||x||=\sum_{n=1}^\infty\frac{|x_n|}{2^n}}\)

Czy podjąłeś jakieś próby rozwiązania? Gdzie pojawia się problem?

w przykładzie 2. nie jestem pewien, czy można rozbić sumę na iloczyn sum i składnik \(\displaystyle{ \frac{1}{2^n}}\) zsumuje się do 1. Pozostanie wtedy: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |x_n|}\). Normy są równoważne jeżeli istnieją stałe \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \alpha\cdot ||x||_1\le||x||_2\le\beta\cdot||x||_1}\).
Standardowa norma w \(\displaystyle{ \math{l}^1}\), to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty |x_n|}\). Więc wtedy te współczynniki \(\displaystyle{ \alpha,\beta}\) są równe 1?
Tylko to wpadło mi do głowy

Jeśli chodzi o pierwszy przykład, to wystarczy skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ m<c_n<M}\) i postaci standardowej normy w \(\displaystyle{ \ell^1}\).
Co do drugiego przykładu, oczywiście że nie możesz tak zrobić. A czy zachodzi na przykład
\(\displaystyle{ \left(\frac 1 2+\frac 1 4\right)(2+4)=\frac 1 2\cdot 2+\frac 1 4\cdot 4}\)
W drugim przykładzie te normy nie będą równoważne, należy uzasadnić, że nie istnieje taka stała dodatnia \(\displaystyle{ c}\), że dla każdego ciągu z \(\displaystyle{ \ell^1}\) będzie
\(\displaystyle{ c \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|}{2^n} \ge \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|}\)
Spróbuj „wyprodukować" takie ciągi \(\displaystyle{ (x_n)^{(m)}}\) z \(\displaystyle{ \ell^1}\) (to naprawdę nietrudne), że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|^{(m)}}{2^n}}\) będzie ograniczone przez jakąś wygodną liczbę (np. \(\displaystyle{ 1}\)), zaś sumy postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|x_n^{(m)}|}\) mogą być dowolnie duże.

Premislav pisze:Jeśli chodzi o pierwszy przykład, to wystarczy skorzystać z nierówności \(\displaystyle{ m<c_n<M}\) i postaci standardowej normy w \(\displaystyle{ \ell^1}\).

Czyli końcowy zapis wyglądałby tak:
\(\displaystyle{ m\cdot \sum_{n=1}^\infty |x_n| \le \sum_{n=1}^\infty c_n\cdot|x_n|\le M\cdot \sum_{n=1}^\infty |x_n|}\)
?

Tak, może być.

Premislav pisze: Spróbuj „wyprodukować" takie ciągi \(\displaystyle{ (x_n)^{(m)}}\) z \(\displaystyle{ \ell^1}\) (to naprawdę nietrudne), że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|^{(m)}}{2^n}}\) będzie ograniczone przez jakąś wygodną liczbę (np. \(\displaystyle{ 1}\)), zaś sumy postaci \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|x_n^{(m)}|}\) mogą być dowolnie duże.

Nie wiem czy dobrze rozumiem, ale czy chodzi o ciąg np: \(\displaystyle{ (0,0,0,...,1,...,0,0,0,0)}\), czyli na n-tym miejscu stoi 1. Co dalej? Chyba nadal nie rozumiem

Myślałem o tym inaczej, ale to też jak najbardziej jest dobry pomysł. Standardowa norma w \(\displaystyle{ \ell^1}\) dla każdego takiego ciągu wyniesie \(\displaystyle{ 1}\), zaś
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|x_n|^{(m)}}{2^n}}\) dla ciągu \(\displaystyle{ (x_n^{(m)})_{n\in \NN^+}}\) mającego na m-tym miejscu jedynkę, a poza tym zera będzie wynosiła \(\displaystyle{ \frac{1}{2^m}}\), co może być dowolnie małe.