Norma operatorowa

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Norma operatorowa

Post autor: camillus25 » 18 mar 2019, o 20:16

Potrzebuję obliczyć normę operatorową dla tej oto macierzy będącej liniowym odwzorowaniem przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^{2}}\) w \(\displaystyle{ \RR^{2}}\):
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right]}\)
dla normy operatorowej danej tym oto wzorem:
\(\displaystyle{ \left| \left| A\right| \right|_{op}=\sup_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left| A(\vec{v})\right| \right|_{2}}\)
Mam wskazówkę, że supremum w tym przypadku sprowadza się do znalezienia maksimum funkcji.

\(\displaystyle{ \left| \left| A\right| \right|_{op}=\sup_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left| A(\vec{v})\right| \right|_{2}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left|\left[\begin{array}{ccc}1&1\\0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] \right| \right|_{2}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| \left|\left[\begin{array}{ccc}x+y\\0\end{array}\right] \right| \right|_{2}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1} \sqrt{(x+y)^{2}}=\max_{\left| \left| \vec{v}\right| \right|_{2}=1}\left| x+y\right|}\)

I co mam zrobić dalej, jeżeli do tego momentu było wszystko dobrze?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Norma operatorowa

Post autor: a4karo » 18 mar 2019, o 20:30

Przeczytaj to ostatnie wyrażenie na głos wyrażając \(\displaystyle{ ||v||_2}\) w języku \(\displaystyle{ x,y}\)

Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Norma operatorowa

Post autor: camillus25 » 18 mar 2019, o 20:45

To otrzymam \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}=1}\). Ale jak to zastosować do mojego \(\displaystyle{ \left| x+y\right| ?}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Norma operatorowa

Post autor: a4karo » 18 mar 2019, o 20:51

Masz znaleźć maksimum funkcji \(\displaystyle{ |x+y|}\) pod warunkiem, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\).

Możesz to robić na parę sposobów: mój preferowany to taki: zastanów się jak wyglądają zbiory \(\displaystyle{ \{(x,y): |x+y|=c\}}\). Narysuj to sobie na kartce. Które z nich "zahaczają" o kółko jednostkowe?

Inny sposób to zauważyć, że \(\displaystyle{ x=\cos t, y=\sin t}\) i znaleźć ekstrema funkcji \(\displaystyle{ |\sin t+\cos t|}\)

Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Norma operatorowa

Post autor: camillus25 » 18 mar 2019, o 21:22

a4karo, Udało mi się to zrobić z tym sinusem i cosinusem. A mółgbyś powiedzieć coś więcej o tym Twoim pierwszym sposobie, bo go chyba nie do końca rozumiem?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Norma operatorowa

Post autor: a4karo » 18 mar 2019, o 21:40

\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture} \draw (-4,-4) grid (4,4) node [right] {(1,1)}; \draw[thick,green] (0,0) circle (4cm); \draw[thin,red] (-4,4)--(4,-4) node[below, right] {$x+y=0$}; \draw[thin,yellow] (-3,4)--(4,-3) node[below, right] {$x+y=0.25$}; \draw[thin,magenta] (-2,4)--(4,-2) node[below, right] {$x+y=0.5$}; \draw[thin,brown] (0,4)--(4,0) node[below, right] {$x+y=1$}; \draw[thin,blue] (1.72,4)--(4,1.72) node[below, right] {$x+y=?$} \end{tikzpicture}}\)

ODPOWIEDZ