Matematyka.pl

Pokaż, że odcinki \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ [0,1)}\) są homeomorficzne. Czy ktoś mógłby to rozwiązać? Z góry dziękuję!

A próbowałeś sam to zrobić? Bo to bardzo elementarne zadanie (zakładając oczywiście, że mamy w obu przypadkach standardową topologię odziedziczoną z prostej).

JK

Gdy miałem zadanie, by pokazać że odcinki \(\displaystyle{ (0, \infty ) , ( -\infty , 0)}\) są homeomorfizmem, to znalazłem po prostu funkcję \(\displaystyle{ \frac{-1}{x}}\) , lecz z powyższym przykładem nie wiem co zrobić.

To tutaj można zrobić analogicznie, tylko że z funkcją \(\displaystyle{ f(x)=1-x}\).

Ok, dziękuję.

Ja natomiast mam zadanie, aby pokazać, że odcinki \(\displaystyle{ (0,1]}\) i \(\displaystyle{ (0,1)}\) z topologią dziedziczoną z \(\mathbb R\) nie są homeomorficzne.

Próbuję rozumować to w ten sposób:

Załóżmy, że \(\displaystyle{ (0,1]}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,1)}\) (homeomorfizm to \(\displaystyle{ f:(0,1]\rightarrow(0,1)}\)).
Wtedy, przez usunięcie \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ (0,1]}\) i przez jego obraz \(\displaystyle{ c=f(1)}\) w \(\displaystyle{ (0,1)}\), mielibyśmy, że \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\).
Ale ponieważ \(\displaystyle{ (0,1)}\) jest homeomorficzny z \(\mathbb R\), więc \(\mathbb R\) musiałby być także homeomorficzny z \(\displaystyle{ (0,c)\cup(c,1)}\) . Stąd mielibyśmy, że można zapisać \(\mathbb R\) jako suma rozłącznych, niepustych zbiorów otwartych, co jest oczywiście niemożliwe.

Czy powyższe rozumowanie ma sens?

Jak najbardziej.

Powyższe rozumowanie nie tylko ma sens, ale także proste uogólnienie: funkcja "zbiór liczb \(\displaystyle{ n}\) takich, że istnieje podzbiór \(\displaystyle{ Y \subset X}\) mocy \(\displaystyle{ n}\), że zbiór \(\displaystyle{ X \setminus Y}\) ma tyle samo składowych spójności, co \(\displaystyle{ X}\)" (gdzie \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią topologiczną), jest niezmiennikiem przestrzeni topologicznych.

Brzmi skomplikowanie, ale używa się tego bardzo prosto Z odcinka domkniętego jednostronnie można usunąć jeden punkt, i dalej mamy przestrzeń spójną. Z odcinkiem otwartym to się nie udaje, więc te dwie przestrzenie nie są homeomorficzne. Podobnie: półprosta domknięta i okrąg, albo prosta i płaszczyzna, itd.