Matematyka.pl

Dla jakich \(\displaystyle{ m, n}\) liczby \(\displaystyle{ 2^m+1}\) i \(\displaystyle{ 2^n-1}\) są względnie pierwsze ?

Z pewnością dla każdego \(\displaystyle{ m=n \in N}\), ale zapewne są inne rozwiązania problemu...

\(\displaystyle{ 2^m+1\nmid 2^n-1}\)

dla każdego

\(\displaystyle{ (2\nmid m ) \lor ((2\mid n \land 2\mid m)\land (\gamma(m) \le \gamma(n)))}\)

gdzie
\(\displaystyle{ \gamma(n)}\) - funkcja przyjmująca wartość stopnia parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\)

-- 19 mar 2019, o 09:51 --

Się napoprawiałem -- 20 mar 2019, o 17:24 --Napiszę to słownie bo te krzaczki mogą być wadliwe...

\(\displaystyle{ 2^m+1}\) i \(\displaystyle{ 2^n-1}\) są względnie pierwsze.
dla każdego
\(\displaystyle{ m}\) - nieparzystego
lub
dla \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) parzystych wtedy i tylko wtedy gdy stopień parzystości \(\displaystyle{ m}\) jest mniejszy lub równy stopniowi parzystości liczby \(\displaystyle{ n}\)

W pozostałych przypadkach
\(\displaystyle{ 2^m+1}\) i \(\displaystyle{ 2^n-1}\) mają wspólny podzielnik \(\displaystyle{ >2}\)