Matematyka.pl

Udowodnij, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 0}\), liczba \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n}}\) jest podzielne przez 8.

Sprawdzam dla pierwszego \(\displaystyle{ n = 1}\)
\(\displaystyle{ 11^{1} - 3^{1} = 8}\)

Teraz mam sprawdzić czy \(\displaystyle{ \left( n + 1\right)}\) jest podzielne przez 8?

\(\displaystyle{ 11^{\left( n + 1\right)} - 3^{\left( n + 1\right)}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n} - 3 \cdot 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n} - 11 \cdot 3^{n} + 8 \cdot 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot \left( 11^{n} - 3^{n}\right) + 8 \cdot 3^{n}}\)

Pytam bo z tej strony ... :_Indukcja nie rozumiem tego

Skoro udowodnili że \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n}}\)
\(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n} = 11^{1} - 3^{1} = 8}\)

To skąd mogą zakładać że \(\displaystyle{ 11^{\left( n - 1\right)} - 3^{\left( n - 1\right)}}\) też jest podzielne przez 8.
\(\displaystyle{ 11 \cdot \left( 11^{n-1} - 3^{n-1}\right) + 8 \cdot 3^{n} = 11^{n} - 3^{n}}\)

Jak to pokazali
\(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n} =}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n-1} - 3 \cdot 3^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n-1} - 11 \cdot 3^{n-1} + 8 \cdot 3^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot \left( 11^{n-1} - 3^{n-1}\right) + 8 \cdot 3^{n-1}}\)

Dlaczego w wyniku końcowym nagle zniknęło \(\displaystyle{ -1}\) w potędze?

Autor udowadnia że wcześniejszy element od n też spełnia zależność?

Po prostu oni założenie indukcyjne mają dla \(\displaystyle{ n-1}\), a tezę dla \(\displaystyle{ n}\), zamiast odpowiednio \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+1}\); sensu rozwiązania to oczywiście nie zmienia. Może przeczytaj sobie jeszcze raz, co tam piszą o zasadzie indukcji matematycznej, to będzie to bardziej zrozumiałe, bo chyba trochę nieswojo się w tym czujesz (w czym nie ma nic wstydliwego), skoro takie naturalne przesunięcie indeksów wzbudziło Twoje obawy.

Jak pokazałeś \(\displaystyle{ 11^1 - 3^1 = 11 - 3 = 8}\) zakładasz, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) działa \(\displaystyle{ 11^n - 3^n = 8\cdot q}\).

Przy danym założeniu sprawdzasz na końcu czy jak działa dla \(\displaystyle{ n}\) to działa też dla \(\displaystyle{ n+1}\).

Co te wszystkie trzy rzeczy nam razem dają:

Wiesz w takim razie, że jak masz przynajmniej jeden przypadek, który działa to następny po nim też będzie działał. Inaczej mówiąc, wiesz że działa to dla \(\displaystyle{ n=1}\) i że będzie w takim razie działać dla \(\displaystyle{ n^{*}=1+1=2}\), a w takim razie dla \(\displaystyle{ n^{**}=n^{*}+1=2+1=3}\), ... itd.

Co do \(\displaystyle{ n+1}\), a \(\displaystyle{ n-1}\) zauważasz, że możesz zrobić tak, że \(\displaystyle{ n^{*}=n+1 \vee n^{*}=n-1}\), więc to tylko zmiana indeksacji

Ta zmiana indeksacji wymaga też zaznaczenia, dla jakich \(\displaystyle{ n}\) wykonujemy krok indukcyjny.

Akurat te rozwiązania na ważniaku nie przejmują się za bardzo formalnym opisem, zakładając, że czytający ogarnia, o co chodzi i w razie potrzeby szczegóły dopisze sobie sam. Stąd też pewnie Twój problem.

JK

HelperNES pisze:Co do \(\displaystyle{ n+1}\), a \(\displaystyle{ n-1}\) zauważasz, że możesz zrobić tak, że \(\displaystyle{ n^{*}=n+1 \vee n^{*}=n-1}\), więc to tylko zmiana indeksacji

Wiem że n może być dowolne np 1 lub 5 czy 60000.
Tylko by to zrozumieć wyobrażałem sobie że n to 1 i dlatego zgrzytało mi \(\displaystyle{ n-1}\), bo przed \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 0}\).
Może to też że autor pokazuje na \(\displaystyle{ n = 1}\) że działa
\(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n} = 11^{1} - 3^{1} = 8}\)

Cały czas się gubię na końcu. W tym
\(\displaystyle{ 11 \cdot \left( 11^{n-1} - 3^{n-1}\right) + 8 \cdot 3^{n-1}}\)

Gdzie bierze wcześniej udowodnione że \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\).
A potem wnioskuje że skoro \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n}}\) to jest podzielne to \(\displaystyle{ 11^{n-1} - 3^{n-1}}\) też jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\)

Chodzi mi o te różne potęgi w jednym jest \(\displaystyle{ n}\), a w drugim \(\displaystyle{ n-1}\) i mi to zgrzyta. Bo idąc w prawo wychodzi ładnie w obu potęga \(\displaystyle{ n}\).

To \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n} = 11^{1} - 3^{1} = 8}\) mam rozumieć, że jak jest 11 minus 3 do tej samej potęgi to jest podzielne przez 8?

I jak napisze coś takiego

\(\displaystyle{ 11^{n-1} - 3^{n-1} =}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n-2} - 3 \cdot 3^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n-2} - 11 \cdot 3^{n-2} + 8 \cdot 3^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot \left( 11^{n-2} - 3^{n-2}\right) + 8 \cdot 3^{n-2}}\)

To dalej jest dobrze?

szymon1051 pisze:Wiem że n może być dowolne np 1 lub 5 czy 60000.

Nie myl "dowolne" z "konkretne".

szymon1051 pisze:Tylko by to zrozumieć wyobrażałem sobie że n to 1 i dlatego zgrzytało mi \(\displaystyle{ n-1}\), bo przed \(\displaystyle{ 1}\) jest \(\displaystyle{ 0}\).

I dlatego w dowodzie, który cytujesz, wyraźnie jest napisane, że w kroku indukcyjnym rozpatrujemy \(\displaystyle{ n>1}\). Wtedy \(\displaystyle{ n-1\ge 1}\) i wszystko pasuje.

szymon1051 pisze:Cały czas się gubię na końcu. W tym
\(\displaystyle{ 11 \cdot \left( 11^{n-1} - 3^{n-1}\right) + 8 \cdot 3^{n-1}}\)

Gdzie bierze wcześniej udowodnione że \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n}}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\).

Nieprawda.

szymon1051 pisze:A potem wnioskuje że skoro \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n}}\) to jest podzielne to \(\displaystyle{ 11^{n-1} - 3^{n-1}}\) też jest podzielne przez \(\displaystyle{ 8}\)

Nieprawda, wnioskuje coś dokładnie przeciwnego.

szymon1051 pisze:Chodzi mi o te różne potęgi w jednym jest \(\displaystyle{ n}\), a w drugim \(\displaystyle{ n-1}\) i mi to zgrzyta. Bo idąc w prawo wychodzi ładnie w obu potęga \(\displaystyle{ n}\).

I to pokazuje, że nie rozumiesz, na czym polega stosowanie zasady indukcji. A sposób sformułowania cytowanego rozwiązania nie pomaga Ci, niestety.

szymon1051 pisze:To \(\displaystyle{ 11^{n} - 3^{n} = 11^{1} - 3^{1} = 8}\) mam rozumieć, że jak jest 11 minus 3 do tej samej potęgi to jest podzielne przez 8?

A to już w ogóle nie ma sensu.

szymon1051 pisze:I jak napisze coś takiego

\(\displaystyle{ 11^{n-1} - 3^{n-1} =}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n-2} - 3 \cdot 3^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot 11^{n-2} - 11 \cdot 3^{n-2} + 8 \cdot 3^{n-2}}\)
\(\displaystyle{ 11 \cdot \left( 11^{n-2} - 3^{n-2}\right) + 8 \cdot 3^{n-2}}\)

To dalej jest dobrze?

A po co miałbyś coś takiego pisać i jak to się ma do dowodu?

Napiszę Ci ten dowód od początku:

Dowodzimy indukcyjnie, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 1}\) liczba \(\displaystyle{ 11^n - 3^n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\)

Najpierw sprawdzamy prawdziwość twierdzenia dla \(\displaystyle{ n=1}\). Mamy \(\displaystyle{ 11-3=8}\), czyli zgadza się.

Teraz wykonujemy krok indukcyjny (czyli sprawdzamy, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 1}\) z prawdziwości tezy dla \(\displaystyle{ n}\) wynika prawdziwość tezy dla \(\displaystyle{ n+1}\)):

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ n\ge 1}\), takie że \(\displaystyle{ 8\mid \left( 11^n - 3^n\right)}\). Udowodnimy, że \(\displaystyle{ 8\mid \left( 11^{n+1} - 3^{n+1}\right)}\). Mamy

\(\displaystyle{ 11^{n+1} - 3^{n+1}=11 \cdot 11^n - 3 \cdot 3^n=11 \cdot 11^n - 11 \cdot 3^n + 8 \cdot 3^n=\red{ 11 \cdot \left( 11^n - 3^n\right)}\black +\, \blue{ 8 \cdot 3^{n-1}}.}\)

Czerwona liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\) na mocy założenia indukcyjnego, a niebieska po prostu jest wielokrotnością \(\displaystyle{ 8}\), więc ich suma też jest podzielna przez \(\displaystyle{ 8}\), co kończy dowód kroku indukcyjnego.

Wobec tego na mocy Zasady Indukcji Matematycznej nasze twierdzenie jest prawdziwe.

JK