Wykazać, że

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Kaymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 26 sty 2019, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Wykazać, że

Post autor: Kaymon » 11 mar 2019, o 19:53

Niech \(a>0\) i \(f: [0,a] \to \mathbb{R}\) będzie funkcją ciągłą i ściśle rosnącą, \(f(0)=0\).
Wykazać, że
\(\int_{0}^{a} f + \int_{0}^{f(a)} f^{-1} = af(a)\)


Zrobiłem w przypadku, gdy f jest funkcją różniczkowalną (wziąłem funkcję pomocniczą \(\varphi (x)=\int_{0}^{a} f + \int_{0}^{f(a)} g(y) - af(a)\), a następnie ją zróżniczkowałem przy założeniu, że \(\varphi(0)=0\)
Nie mogę jednak wpaść na to co począć w przypadku, gdy f niekoniecznie jest funkcją różniczkowalną.
Jakieś sugestie?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Wykazać, że

Post autor: Premislav » 11 mar 2019, o 20:19

Cześć, zobacz tutaj, przyda się: https://en.wikipedia.org/wiki/Integral_ ... _functions

Kaymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 26 sty 2019, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Re: Wykazać, że

Post autor: Kaymon » 11 mar 2019, o 20:53

Podstawiłem wzór na całkę odwrotną \(\int f^{-1}(y)\,dy= y f^{-1}(y)-F\circ f^{-1}(y)+C\), ale doprowadziło mnie do jedynie do \(-F(0)+f(a)*a\). Nie wiem jak poradzić sobie z tą funkcją pierwotną.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Wykazać, że

Post autor: Premislav » 11 mar 2019, o 21:02

Jeżeli \(F(t)= \int_{0}^{t}f(x)\,\dd x\), to ile to może być \(F(0)\)

Kaymon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 26 sty 2019, o 19:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Re: Wykazać, że

Post autor: Kaymon » 11 mar 2019, o 21:32

Matko, nie było pytania
Dzięki za pomoc!

ODPOWIEDZ