Matematyka.pl

Czy istnieje taka próbka, że ​​odchylenie standardowe jest znacznie mniejsze niż IQR? Myślę, że nie, ale jak to udowodnić?

Ćwierć obserwacji jest większa niż \(\displaystyle{ Q_3}\), a ćwierć mniejsza niż \(\displaystyle{ Q_1}\), stąd \(\displaystyle{ Var(x)\ge \frac{1}{4}(\mu-Q_3)^2+\frac{1}{4}(\mu-Q_1)^2 \ge \frac{IQR^2}{8}}\), a stąd \(\displaystyle{ \sigma \ge \frac{IQR\sqrt2}{4}}\), równość zachodzi, gdy zmienna przyjmuje tylko trzy wartości, jedna jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych, a ilości zmiennych przyjmujących te wartości są w stosunku \(\displaystyle{ 1:2:1}\).

Te dwie miary w praktyce nie porównuje się między sobą. Natomiast wykorzystuje się je do badania tzw. punktów oddalonych. Metoda oparta na IQR jest bardziej odporna od metody średniej i odchylenia standardowego na istnienie takich punktów.