Strona 1 z 1
wykazać równość
: 10 mar 2019, o 00:11
autor: majher
Nietypowe zadanie:
Napisać historyjkę kombinatoryczną wykazującą równość:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{k} (2k)^2 = {2n+2\choose 3}}\)
Re: wykazać równość
: 10 mar 2019, o 00:54
autor: a4karo
Coś się stało ze wskaźnikami sumowania.
Pewnie miało być
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = {2n+2\choose 3}}\)
-- 10 mar 2019, o 01:07 --
Przypuśćmy, że mamy \(\displaystyle{ 2k}\) kul czerwonych i \(\displaystyle{ 2}\) kule zielone.
Z tego zestawu trzy kule możemy wybrać na \(\displaystyle{ \binom{2k}{3}+\binom{2k}{2}\binom{2}{1}+\binom{2k}{1}\binom{2}{2}}\) sposobów, a z drugiej strony \(\displaystyle{ \binom{2(k+1)}{3}}\) sposoby. Stąd
\(\displaystyle{ \binom{2k+2}{3}=\binom{2k}{3}+(2k)^2}\)
Dodajemy stronami, teleskopujemy i już.