Matematyka.pl

W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=5}\), wybrano punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) tak ze \(\displaystyle{ BE = 1, EF = 3 , CF = 2}\). Proste \(\displaystyle{ AE}\) oraz \(\displaystyle{ AF}\) przecinają okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ G}\) oraz \(\displaystyle{ H}\). Odcinki \(\displaystyle{ GH}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\) są równoległe. Oblicz długość \(\displaystyle{ AC}\).

Zamiast pisać "\(\displaystyle{ AE}\) oraz \(\displaystyle{ AF}\)" warto dodać przed symbolami rzeczownik. Wtedy byłoby jasne, że chodzi o proste (no i zdania nie zaczyna się od symbolu...).

JK

ann_u pisze:AE oraz AF przecinają okrąg opisany na trójkącie ABC odpowiednio w punktach G oraz H.

To jest niemożliwe, bo punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) leżą wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\), a więc tym bardziej wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie. Odcinki \(\displaystyle{ AE}\) i \(\displaystyle{ AF}\) mają tylko jeden punkt wspólny z okręgiem opisanym na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Jest nim punkt \(\displaystyle{ A}\). Coś chyba pokopałaś z treścią.

Czy ten rysunek jest błedny ?

Napisałaś:

ann_u pisze:W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=5}\), wybrano punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) tak ze \(\displaystyle{ BE = 1, EF = 3 , CF = 2}\).

podczas, kiedy zadanie brzmi:

W trójkącie ABC mamy AB=5. Dwa punkty E i F leżą na BC tak, że BE=1, EF=3, CF=2. AE i AF przecinają okrąg opisany na trójkącie ABC odpowiednio w punktach G i H tak że GH i BC są równoległe. Oblicz długość AC.

Jak robiłem rysunek do zadania, którego treść pierwotnie podałaś, moje punkty F i B leżały w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), nie zaś na jego boku. Bo skąd miałem wiedzieć, że leżą one na jego boku, skoro napisane było wyraźnie w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). W nie znaczy na krawędzi.

Spróbuję pomyśleć nad tym zadaniem, ale to chwilę potrwa. Cierpliwości!
A rysunek jest błędny, bo trójkąt ma być wpisany w okrąg, a u Ciebie jeden rożek jest jakby trochę poza okręgiem.

Sory , chyba już teraz jest jasna treść

Jeżeli odcinki \(\displaystyle{ GH}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\) są równoległe, to znaczy, że mają wspólną symetralną. Środek okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) leży na przecięciu symetralnych jego boków. Ponadto skoro boki \(\displaystyle{ AB=5}\) i \(\displaystyle{ BC=BE+EF+FC=1+3+2=6}\), a więc są ustalonej długości, to znaczy, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny, a jeśli tak, to jego przeciwprostokątna \(\displaystyle{ AC}\) jest średnicą okręgu opisanego.
Stąd wniosek, że

\(\displaystyle{ AC= .....}\)

Dilectus pisze:Jeżeli odcinki \(\displaystyle{ GH}\) oraz \(\displaystyle{ BC}\) są równoległe, to znaczy, że mają wspólną symetralną.

Czemu tak jest ?

Bok trójkąta wpisanego w okrąg jest cięciwą tego okręgu. Narysuj okrąg i dwie wzajemnie równoległe cięciwy , a potem symetralne każdej z nich.

Dilectus pisze:Ponadto skoro boki \(\displaystyle{ AB=5}\) i \(\displaystyle{ BC=BE+EF+FC=1+3+2=6}\), a więc są ustalonej długości, to znaczy, że trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest prostokątny

Sory ze tak dopytuje ale czemu ABC jest prostokątny?

Bo tylko wtedy odcinek \(\displaystyle{ GH}\) spełniający warunki zadania (tj. wyznaczony przez proste \(\displaystyle{ AF}\) i \(\displaystyle{ AG}\) przecinające bok \(\displaystyle{ BC}\) w zadanych punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\)) będzie równoległy do boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wpisanego w okrąg.

Dilectus pisze:Bo tylko wtedy odcinek \(\displaystyle{ GH}\) spełniający warunki zadania (tj. wyznaczony przez proste \(\displaystyle{ AF}\) i \(\displaystyle{ AG}\) przecinające bok \(\displaystyle{ BC}\) w zadanych punktach \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\)) będzie równoległy do boku \(\displaystyle{ BC}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) wpisanego w okrąg.

Nadal jakoś tego nie widzę

Jeśli masz program GeoGebra, podeślę Ci plik z odpowiednimi rysunkami.

A tu nie mozesz wstawic? ok mozesz wysłac.