Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
SebaR92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 wrz 2010, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogielnica
Podziękował: 1 raz

Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: SebaR92 »

Witam, poszukuję metody dopasowanie płaszczyzny w \(\displaystyle{ \RR^3}\) do \(\displaystyle{ n}\)-liczby punktów o współrzędny \(\displaystyle{ x_{i}}\) \(\displaystyle{ y_{i}}\) \(\displaystyle{ z_{i}}\). Metody znalezione w internecie polegające na minimalizacji równania płaszczyzny, liczeniu średnich \(\displaystyle{ x, y, z}\) dają wyniki obarczone błędem. Czy spotkał się ktoś z inną metodą, mógłby mi wskazać drogę ?
szw1710

Re: Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: szw1710 »

Metoda najmniejszych kwadratów. Przecież nie trafisz w praktyce na punkty leżące na jednej płaszczyźnie i zawsze będziesz miał błąd.
SebaR92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 wrz 2010, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogielnica
Podziękował: 1 raz

Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: SebaR92 »

MNK - czy powinienem próbować to policzyć ze wzoru na równianie płaszczyzny, czy na odległość punktu od płaszczyzny? Czy są gdzieś w internecie gotowe wzory? Można prosić o jakąś podpowiedź, przykład?
szw1710

Re: Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: szw1710 »

W MNK oznaczasz sobie \(\displaystyle{ z=Ax+By+C}\) i masz punkty pomiarowe postaci \(\displaystyle{ (x_k,y_k,z_k).}\) Minimalizujesz sumę kwadratów odległości "pionowych", tj. \(\displaystyle{ F(A,B,C)=\sum_{k=1}^n(z_k-Ax_k-By_k-C)^2.}\)
SebaR92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 wrz 2010, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogielnica
Podziękował: 1 raz

Re: Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: SebaR92 »

Witam dlaczego stosować taką formę \(\displaystyle{ z=Ax+By+C}\) zamiast: \(\displaystyle{ 0=Ax+By+Cz +D}\) która jest dokładną formą, obliczenia odległości "pionowych" nie są zgodne z wartościami, które otrzymamy licząc odległości prostopadłe do płaszczyzna o ile się nie mylę. Podobna sytuacja występuje przy wyznaczaniu prostej na płaszczyźnie.-- 8 mar 2019, o 17:06 --Minimalizując funkcję: \(\displaystyle{ d^{2}=(Ax+By+Cz +D)^{2}}\) otrzymałem następujące pochodne:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial d}{ \partial A} =(Ax+By+Cz +D)x}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial d}{ \partial B}=(Ax+By+Cz +D)y}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial d}{ \partial C}=(Ax+By+Cz +D)z}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial d}{ \partial D}=(Ax+By+Cz +D)}\)
stosując dalej znaki sumy otrzymam układ 4, czy takie rozwiązanie będzie miało sens ?
Jak mówiłem zależy mi na odległościach mierzonych prostopadle do szukane płaszczyzny.
ODPOWIEDZ