Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
SebaR92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 wrz 2010, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogielnica

Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: SebaR92 » 7 mar 2019, o 20:05

Witam, poszukuję metody dopasowanie płaszczyzny w \(\RR^3\) do \(n\)-liczby punktów o współrzędny \(x_{i}\) \(y_{i}\) \(z_{i}\). Metody znalezione w internecie polegające na minimalizacji równania płaszczyzny, liczeniu średnich \(x, y, z\) dają wyniki obarczone błędem. Czy spotkał się ktoś z inną metodą, mógłby mi wskazać drogę ?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: szw1710 » 7 mar 2019, o 21:18

Metoda najmniejszych kwadratów. Przecież nie trafisz w praktyce na punkty leżące na jednej płaszczyźnie i zawsze będziesz miał błąd.

SebaR92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 wrz 2010, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogielnica

Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: SebaR92 » 7 mar 2019, o 21:42

MNK - czy powinienem próbować to policzyć ze wzoru na równianie płaszczyzny, czy na odległość punktu od płaszczyzny? Czy są gdzieś w internecie gotowe wzory? Można prosić o jakąś podpowiedź, przykład?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: szw1710 » 7 mar 2019, o 22:36

W MNK oznaczasz sobie \(z=Ax+By+C\) i masz punkty pomiarowe postaci \((x_k,y_k,z_k).\) Minimalizujesz sumę kwadratów odległości "pionowych", tj. \(F(A,B,C)=\sum_{k=1}^n(z_k-Ax_k-By_k-C)^2.\)

SebaR92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 12 wrz 2010, o 14:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mogielnica

Re: Dopasownie płaszszczyzny R3 do zestawu punktów

Post autor: SebaR92 » 8 mar 2019, o 15:01

Witam dlaczego stosować taką formę \(z=Ax+By+C\) zamiast: \(0=Ax+By+Cz +D\) która jest dokładną formą, obliczenia odległości "pionowych" nie są zgodne z wartościami, które otrzymamy licząc odległości prostopadłe do płaszczyzna o ile się nie mylę. Podobna sytuacja występuje przy wyznaczaniu prostej na płaszczyźnie.-- 8 mar 2019, o 17:06 --Minimalizując funkcję: \(d^{2}=(Ax+By+Cz +D)^{2}\) otrzymałem następujące pochodne:
\(\frac{ \partial d}{ \partial A} =(Ax+By+Cz +D)x\)
\(\frac{ \partial d}{ \partial B}=(Ax+By+Cz +D)y\)
\(\frac{ \partial d}{ \partial C}=(Ax+By+Cz +D)z\)
\(\frac{ \partial d}{ \partial D}=(Ax+By+Cz +D)\)
stosując dalej znaki sumy otrzymam układ 4, czy takie rozwiązanie będzie miało sens ?
Jak mówiłem zależy mi na odległościach mierzonych prostopadle do szukane płaszczyzny.

ODPOWIEDZ