Matematyka.pl

Uczniowie po sprawdzianie dostają tabelkę z ocenami całej klasy, w której w górnym wierszu są oceny, a w dolnym ich ilość (np. szóstek - zero, piątki -2 itd.) Klasa jest 20-osobowa. Ile jest możliwości wypełnienia takiej tabelki? Jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś odgadnie prawidłowo poszczególne ilości ocen?

gamma08 pisze:. Ile jest możliwości wypełnienia takiej tabelki?

Ilość rozwiązań równania:
\(\displaystyle{ x_1+x_2+ x_3+ x_4+ x_5+ x_6=20}\)
w liczbach naturalnych ( zero także uznaję za naturalne) to : \(\displaystyle{ {20+6-1 \choose 6-1}}\)

gamma08 pisze: Jakie jest prawdopodobieństwo, że ktoś odgadnie prawidłowo poszczególne ilości ocen?

A kto odgaduje? (obca osoba, uczeń, wszyscy uczniowie, inna opcja)

Odgaduje osoba obca. Nie bardzo rozumiem skąd ten zapis w nawiasie, dlaczego tam jest odejmowanie. Czy to oznacza, że mam liczyć "n po k"? Wtedy wyjdzie 53130 rozwiązań?

gamma08 pisze: Czy to oznacza, że mam liczyć "n po k"? Wtedy wyjdzie 53130 rozwiązań?

Tak. Tak.

gamma08 pisze:Odgaduje osoba obca.

Czyli autor zadania oczekuje odpowiedzi \(\displaystyle{ P= \frac{1}{53130}}\).
Jednak nikt kto miał do czynienia z naszym szkolnictwem, a mieli wszyscy, nie obstawi opcji w której jest dużo (lub same) ocen celujących.

gamma08 pisze: Nie bardzo rozumiem skąd ten zapis w nawiasie, dlaczego tam jest odejmowanie.

Załóżmy że mam znaleźć liczbę rozwiązań równania: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=6}\) w liczbach naturalnych dodatnich.
Mogę wypisać rozwiązania podając trójki \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3}\):
\(\displaystyle{ 4,1,1\\
3,2,1\\
3,1,2\\
2,3,1\\
2,2,2\\
2,1,3\\
1,4,1\\
1,3,2\\
1,2,3\\
1,1,4}\)
i je zliczyć (jest ich 10)
Inne podejście to liczbę \(\displaystyle{ 6}\) przedstawić jako sumę jedynek \(\displaystyle{ 1+1+1+1+1+1}\). Aby dostać dowolne rozwiązanie wystarczy dwa plusy zamienić na przecinki (np: \(\displaystyle{ 1,1+1,1+1+1}\) albo \(\displaystyle{ 1+1+1+1,1,1}\))
Czyli ilość rozwiązań to ilość wyborów dwóch plusów (o jeden mniej niż niewiadomych) z pięciu (o jeden mniej niż znana suma). \(\displaystyle{ {5 \choose 2}=10}\) albo \(\displaystyle{ {6-1 \choose 3-1}={5 \choose 2}=10}\)
Ogólnie:
Liczba rozwiązań równania: \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n=S \ \ \wedge S \ge n}\) w liczbach naturalnych dodatnich to: \(\displaystyle{ {S-1 \choose n-1}}\)

A co jeśli mam znaleźć liczbę rozwiązań równania: \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3=6}\) w liczbach naturalnych (zero uważam za naturalne)?
Wtedy robiąc podstawienie:
\(\displaystyle{ t_1=x_1+1\\
t_2=x_2+1\\
t_3=x_3+1}\)
mam znaleźć liczbę rozwiązań równania: \(\displaystyle{ t_1-1+t_2-1+t_3-1=6}\) w liczbach naturalnych dodatnich. To jest już proste i z tekstu powyżej wiem że ilość ta to: \(\displaystyle{ {6+3-1 \choose 3-1}=28}\).

Ogólnie:
Liczba rozwiązań równania: \(\displaystyle{ x_1+x_2+...+x_n=S \ \ \wedge S \ge 0}\) w liczbach naturalnych to: \(\displaystyle{ {S+n-1 \choose n-1}}\)

Zastosuj powyższe wiadomości do swojego zadania. Pewnie teraz ten dziwny i niezrozumiały wynik nabierze sensu.