Zbieżność sumy dwóch ciągów funkcyjnych

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Zbieżność sumy dwóch ciągów funkcyjnych

Post autor: camillus25 » 5 mar 2019, o 10:29

Niech \(E \subset \RR\) i \(f_{n}, \ g_{n} \in C(E)\). Załóżmy, że \(f_{n}\) i \(g_{n}\) są jednostajnie zbieżne. Wykaż, że ciąg funkcyjny \(f_{n}+g_{n}\) jest jednostajnie zbieżny.

Czy moje rozumowanie jest poprawne?

Skorzystam tutaj z definicji zbieżności jednostajnej, że \(f_{n} \rightarrow f_{0} \Leftrightarrow f_{n} \rightarrow f_{0}\) w normie \(\ \left| \left| \cdot \right| \right|_{ \infty }\) tzn. \(\left| \left| f_{n} - f_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0\)

To w takim razie skoro \(f_{n} \ i \ g_{n}\) są zbieżne to \(\left| \left| f_{n} - f_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0 \ i \ \left| \left| g_{n} - g_{0}\right| \right|_{ \infty } \rightarrow 0\)

\({\left\| f_{n}+g_{n}-(f_{0}+g_{0}) \right\|_{ \infty }= \left\| f_{n}-f_{0}+g_{n}-g_{0} \right\|_{ \infty } \le \left\| f_{n} - f_{0} \right\|_{ \infty } + \left\| g_{n} - g_{0} \right\|_{ \infty } \rightarrow 0}\),
więc \(f_{n}+g_{n}\) jest zbieżny jednostajnie.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność sumy dwóch ciągów funkcyjnych

Post autor: Dasio11 » 5 mar 2019, o 17:26

Z lekkim przymrużeniem oka, bo bez zwartości \(E\) norma \(\| \cdot \|_{\infty}\) nie jest dobrze określona na całym \(C(E)\), ale tak - jest poprawne.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4966
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Zbieżność sumy dwóch ciągów funkcyjnych

Post autor: janusz47 » 5 mar 2019, o 19:35

Niech \(F_{n} = \| f_{n}-f_{0}\| _{\infty}, \ \ G_{n}=\| g_{n} - g_{0}\|_{\infty}\)

Wtedy

\(H_{n} = \| (f_{n}+g_{n})- (f_{0}+g_{0})\| _{\infty}< \| f_{n}-f_{0}\| _{\infty}+ \| g_{n} - g_{0}\|_{\infty}\leq F_{n}+G_{n}\)

Ale \(\lim_{n\to \infty}F_{n} = \lim_{n\to \infty} G_{n} = 0.\)

Skąd \(\lim_{n\to \infty} H_{n} = 0\)

Z twierdzenia o trzech ciągach:

\(f_{n} + g_{n} \rightrightarrows f_{0} +g_{0}.\)

ODPOWIEDZ