Zbieżność ciągu

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Zbieżność ciągu

Post autor: camillus25 » 3 mar 2019, o 14:25

Dany jest ciąg \(\displaystyle{ \vec{v}_{n} \in E_{k}, \ k \in \NN, \ \vec{v}_{n}=(x_{n,1},...,x_{n,k}).}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ \vec{v}_{n} \rightarrow \vec{v} \Leftrightarrow \forall i =1,...,k \ x_{n,i} \rightarrow x_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ \vec{v}=(x_{1},...,x_{k}).}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: Dasio11 » 3 mar 2019, o 16:53

Jaką masz definicję tego, że \(\displaystyle{ \vec{v_n} \to \vec{v}}\)?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: matmatmm » 3 mar 2019, o 17:24

Ja podejrzewam, że \(\displaystyle{ E_k}\) jest tutaj produktem \(\displaystyle{ k}\) przestrzeni topologicznych (nie wiem, czy nie trzeba założenia, że są one Hausdorffa), a zbieżność \(\displaystyle{ \vec{v_n}\to\vec{v}}\) to zbieżność w topologii produktowej.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24938
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: Jan Kraszewski » 3 mar 2019, o 17:52

matmatmm pisze:Ja podejrzewam, że \(\displaystyle{ E_k}\) jest tutaj produktem \(\displaystyle{ k}\) przestrzeni topologicznych
\(\displaystyle{ E_k}\) to jak sądzę \(\displaystyle{ k}\)-wymiarowa przestrzeń euklidesowa.

JK

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Zbieżność ciągu

Post autor: janusz47 » 3 mar 2019, o 18:06

Zbieżność w przestrzeni \(\displaystyle{ E^{k}}\) (euklidesowej ) jest równoważna ze zbieżnością po współrzędnych.

Wprowadzamy odwzorowanie \(\displaystyle{ \pi: R^{k}\rightarrow \RR,}\)

\(\displaystyle{ \pi_{i}(\vec{x}) = \pi (x_{1}, x_{2},....x_{k}) = x_{i}, \ \ i=1,2,...,k.}\) (rzut na i-tą oś )

Musimy wykazać równoważność implikacji:

\(\displaystyle{ (i) \ \ \vec{x_{n}} \rightarrow \vec{x_{0}}, n=0,1,2...,}\)

\(\displaystyle{ (ii) \ \ \forall i =1,...,k, \ \pi_{i}(x_{n}) \rightarrow \pi_{i}(x_{0}).}\)

Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że \(\displaystyle{ \vec{x_{0}}= 0.}\)

\(\displaystyle{ (i) \rightarrow (ii)}\)

Zauważ, że zachodzi oszacowanie:

\(\displaystyle{ |\pi_{i}(x_{n})| \leq \parallel x_{n} \parallel, \ \ i=1,2,...k}\)
................................................

\(\displaystyle{ (ii) \rightarrow (i)}\)

Załóż, że istnieje takie \(\displaystyle{ n_{o}> N \rightarrow |\pi_{i}(x_{n})| < \frac{\epsilon}{\sqrt{k}}, \ \ i=1,2,...,k}\)
..............................................................................................

Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: camillus25 » 3 mar 2019, o 21:33

Dasio11, Miałem podaną taką definicję zbieżności:
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \RR \ \forall n>N \left| \left| \vec{v}_{n}- \vec{v} \right| \right|< \varepsilon}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: Dasio11 » 3 mar 2019, o 23:22

No to proponuję żebyś zaczął dowód jednej z implikacji - rozpisz z definicji, jak wyglądają założenie i teza.

Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: camillus25 » 16 mar 2019, o 17:01

Dasio11, czy to co zrobiłem ma jakiś sens?

Niech \(\displaystyle{ \vec{b}_{n}=x_{n} \ , \ \vec{b}=x}\).
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon >0 \ \exists N \in \RR \ \forall n>N \left| \left| \vec{b}_{n} - \vec{b} \right| \right| < \varepsilon \Rightarrow \left| x_{n}-x\right|< \varepsilon \Rightarrow \forall i=1,...,k \ x_{n,i} \rightarrow x_{i}}\)
\(\displaystyle{ \forall \varepsilon k >0 \ \exists N \in \RR \ \forall n>N \ \left| \left| \vec{v}_{n}- \vec{v}\right| \right| < \varepsilon k \ \forall k \in \NN \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{(x_{n,1}-x_{1})^2+...+(x_{n,k}-x_{k})^2} <\varepsilon k}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: Dasio11 » 16 mar 2019, o 21:22

Niezbyt, dlatego że dowód w matematyce polega na przeprowadzeniu czytelnego rozumowania, które uzasadnia prawdziwość tezy. Ty zaś napisałeś trochę formuł matematycznych i nic poza tym. W szczególności, nie powinieneś używać symbolu \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) zamiast wyrazu "więc".

Zacznijmy od początku. Teza ma charakter równoważności:

\(\displaystyle{ \vec{v_n} \to \vec{v} \iff (\forall i = 1, \ldots, k) \, x_{n, i} \to x_i}\),

więc należy udowodnić dwie implikacje.

(Nawiasem mówiąc, zapis prawej strony jest bardzo potoczny. Poprawniej byłoby: \(\displaystyle{ (\forall i \in \{ 1, \ldots, k \}) \, x_{n, i} \to x_i}\). )

W dowodzie implikacji \(\displaystyle{ (\implies)}\) zakładamy, że zachodzi

\(\displaystyle{ \vec{v_n} \to \vec{v}, \quad (*)}\),

i dla każdego \(\displaystyle{ i \in \{ 1, \ldots, k \}}\) próbujemy uzasadnić, że zachodzi \(\displaystyle{ x_{n, i} \to x_i}\). W tym celu możemy skorzystać z założenia \(\displaystyle{ (*)}\).

W dowodzie implikacji przeciwnej postępujemy analogicznie: zakładamy, że zachodzi \(\displaystyle{ (\forall i \in \{ 1, \ldots, k \}) \, x_{n, i} \to x_i}\), i dowodzimy, że \(\displaystyle{ \vec{v_n} \to \vec{v}}\).

Awatar użytkownika
camillus25
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 5 paź 2018, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: camillus25 » 18 mar 2019, o 18:10

Dasio11, Implikacje w lewo mi się udało udowodnić:

\(\displaystyle{ ' \Leftarrow ' \ \ \ \forall \varepsilon>0 \ \exists N_{i} \in \RR \ \forall n>N_{i} \ \left| \left| x_{n,i}-x_{i}\right| \right|< \frac{\varepsilon}{ \sqrt{k} }}\) Niech \(\displaystyle{ N=max\left\{ N_{1},...,N_{k}\right\}}\) Jeżeli \(\displaystyle{ \forall(n) \ n>N}\) to zachodzą wszystkie nierówności, więc \(\displaystyle{ \left| \left| \vec{v}_{n}-\vec{v} \right| \right| <\varepsilon}\), więc \(\displaystyle{ \vec{v}_{n} \rightarrow \vec{v}}\) Ale jak to zrobić w prawo??

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8465
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Zbieżność ciągu

Post autor: Dasio11 » 18 mar 2019, o 22:14

camillus25 pisze:Dasio11, Implikacje w lewo mi się udało udowodnić
Nie chciałbym zabrzmieć, jakbym czegoś od Ciebie wymagał, ale wiedz, że w Twoim dowodzie dobra jest tylko metoda, natomiast od strony formalnej wygląda on raczej kiepsko.
camillus25 pisze:Ale jak to zrobić w prawo??
Podobnie, ale prościej: jeśli od pewnego miejsca zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \| \vec{v_n} - \vec{v} \| < \varepsilon}\), to tym bardziej zachodzi \(\displaystyle{ | x_{n, i} - x_i | < \varepsilon}\), bo ogólnie

\(\displaystyle{ | x_{n, i} - x_i | = \sqrt{ ( x_{n, i} - x_i )^2 } \le \sqrt{ (x_{n, 1} - x_1)^2 + \ldots + ( x_{n, k} - x_k )^2 } = \| \vec{v_n} - \vec{v} \|.}\)

ODPOWIEDZ