Matematyka.pl

W pewnej grze rzucamy kostką tak długo, aż wyrzucimy szóstkę. Wygrywamy tyle złotych, ile wypadło
liczb różnych niż \(\displaystyle{ 6}\). Jeśli wyrzucimy szóstkę w pierwszym rzucie, tracimy \(\displaystyle{ x}\)złotych. Ile może co najwyżej
wynosić \(\displaystyle{ x}\), żeby gra była dla nas opłacalna?

Gra jest sprawiedliwa gdy nadzieja matematyczna wynosi zero. Stąd:
\(\displaystyle{ (-x) \cdot \frac{1}{6}+1 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}+3 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}+4\cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}+5\cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}+...=0}\)

\(\displaystyle{ x=30}\)

Odp:
Gra jest dla nas opłacalna dla \(\displaystyle{ x<30}\)

Skąd się bierze
\(\displaystyle{ 1 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}+2 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}}\) itd..?

Wygrasz \(\displaystyle{ 1PLN}\) gdy wypadnie nie szóstka i wypadnie szóstaka, wygrasz \(\displaystyle{ 2PLN}\) gdy wypadnie nie szóstka i nie szóstka i szóstka ...