Matematyka.pl

Zbadaj, czy istnieje izomorfizm konforemny obszaru \(\displaystyle{ D=\left\{ z\in\mathbb{C}:\ |z|<1, z\neq0\right\}}\) na obszar \(\displaystyle{ E=\left\{ z\in\mathbb{C}:\ |\textrm{re} z|<2,|\textrm{im}z|<2,z\neq1+i\right\}}\).

Przypuszczam, że nie istnieje i że trzeba uzyskać sprzeczność, korzystając z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym. Czy to jakoś tak?

A co to jest izomorfizm konforemny?

Jeśli to samo, co funkcja biholomorficzna, to proponuję spróbować tak: z istnieje izomorfizm konforemny z koła otwartego na kwadrat otwarty, taki który punkt \(\displaystyle{ z = 0}\) przenosi na wybrany punkt kwadratu, na przykład \(\displaystyle{ z = 1+i}\). Wtedy jego obcięcie do dziurawego koła będzie izomorfizmem dziurawego koła na dziurawy kwadrat.

Na tym dziale niespecjalnie się znam, więc nie ręczę za poprawność powyższego, ale może Ty będziesz w stanie zweryfikować to rozwiązanie.

Dzięki. W pobieżnym sformułowaniu twierdzenia Riemanna, które miałem, nie było mowy o tym, że to odwzorowanie można zawsze ustalić w taki sposób, żeby \(\displaystyle{ z=0}\) przeszło na jakikolwiek punkt tego drugiego obszaru.

No dobra, a gdyby chcieć znaleźć taki biholomorfizm, to wiadomo, jak to robić?