Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}\sin x\cdot\sin y=\frac{2}{3}\\\cos x\cdot \cos y=m\end{cases}}\)
ma rozwiązanie.
_________________
Moje rozwiązanie
odejmuje stronami
\(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\\sin(x-y)=\frac{2}{3}-m\\-1\le\frac{2}{3}-m\le 1\\
m\in \left\langle -\frac{1}{3};\frac{5}{3}\right\rangle}\)
_______
Odp poprawna \(\displaystyle{ m\in\left\langle -\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right\rangle}\)
Jak to możliwe, że ja pomijam jeden przypadek prawdopodobnie dodatnie stronami?
Czy da się to rozwiązać możliwie innym sposobem, który uwzględni wszystkie przypadki?

Odejmując stronami uzyskujesz jedno równanie i w konsekwencji otrzymasz więcej rozwiązań. Musisz przekształcać układ w taki sposób, aby nadal mieć dwa niezależne równania.

Zauważ, że dodanie stronami nie jest przejściem równoważnym, a efekt tego jest taki, że warunek, który dostajesz na końcu jest warunkiem koniecznym istnienia rozwiązania, ale nie wiesz nic na temat tego, czy jest to warunek wystarczający.

Jeżeli tego "nie czujesz" to zauważ np., że \(\displaystyle{ \cos x\cdot \cos y=m}\) ma rozwiązanie wyłącznie dla \(\displaystyle{ m\in\left\langle -1,1\right\rangle}\) (masz zatem kolejny warunek konieczny...).

Tu trzeba ciut więcej pokombinować.

JK

Bratower pisze: \(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\ \sin(x-y)=\frac{2}{3}-m}\)

Cóż to za herezje?

\(\displaystyle{ \cos x \cos y-\sin x \sin y=\cos (x+y)=m- \frac{2}{3}\\
\cos x \cos y+\sin x \sin y=\cos (x-y)=m+ \frac{2}{3}}\)

kerajs pisze:

Bratower pisze: \(\displaystyle{ \sin x\cdot\sin y-\cos x\cdot\cos y=\frac{2}{3}-m\\ \sin(x-y)=\frac{2}{3}-m}\)

Cóż to za herezje?

\(\displaystyle{ \cos x \cos y-\sin x \sin y=\cos (x+y)=m- \frac{2}{3}\\
\cos x \cos y+\sin x \sin y=\cos (x-y)=m+ \frac{2}{3}}\)

Faktycznie, źle popatrzyłem na wzór
Ale i tak o jednym rozwiązaniu bym zapomniał