Matematyka.pl

Witam. Temat pewnie już nie raz poruszany ale nie znalazłem konkretnej odpowiedzi w wyszukiwarce

Chciałem obliczyć prędkość dwóch ciał po zderzeniu centralnym, nie wiedziałem jak się za to zabrać i w 10 min w Googlach znalazłem 3 wzory jak obliczyć te prędkości. Może najpierw podam dane

Ciało 1

\(\displaystyle{ m _{1} = 200000 mg = 0,2 kg \\
v _{1} = 3240 km/h = 900m/s}\)

ciało 2

\(\displaystyle{ m _{2} = 0,02 t = 20 kg \\
v _{2} = 90 km/h = 25m/s}\)

Wyznaczyć prędkość obu ciał po zderzeniu. Wektor ich "toru ruchu" ma ten sam kierunek ale przeciwny zwrot.

Znalazłem takie wzory:

1)

\(\displaystyle{ V_{1}'= \frac{ V_{1} \left( m_{1}-m _{2} \right) +2 m_{2} V_{2} }{m _{1}+ m_{2} }}\)

2)

\(\displaystyle{ V_{2}'= V_{1} \cdot \left( \frac{2 \cdot m_{1} }{ m_{1}+ m_{2} } \right) + V_{2} \cdot \left( \frac{ m_{2} - m_{1} }{ m_{1}+ m_{2} } \right)}\)

3)

\(\displaystyle{ V_{1}'= v_{1} \cdot \frac{ m_{1}- m_{2} }{ m_{2} + m_{1} } = 900 \cdot \frac{0,2-20}{20+0,2} = 900 \cdot \left( \frac{-19,8}{20,2} \right) = 900 \cdot \left( -0,980 \right) = -882 \frac{m}{s}}\)


\(\displaystyle{ V_{2}'= \frac{2 \cdot v_{1} \cdot m_{1} }{ m_{2} + m_{1} } = \frac{2 \cdot 900 \cdot 0,2}{20+0,2} = \frac{360}{20,2} = 17,82 \frac{m}{s}}\)


Wiem, że podałem wzory na prędkość dla różnych ciał. Podałem wyliczenia tylko dla trzeciego przypadku ponieważ tylko te wzory dają jakieś sensowne wyniki. Interpretuję je tak, że ciało 1 odbije się z prawie taką samą prędkością a ciało 2 zwolni. Wzór nr 1 i nr 2 dają jakieś dziwne wyniki. Z czego wynikają różnice w tych wzorach??

Dziękuję

Fermion pisze:Z czego wynikają różnice w tych wzorach??

Pewnie z założeń i wybranej notacji. Bo niektórzy np. zwroty wektorów wypisują jawnie, stawiając w odpowiednim miejscu minusa, a niektórzy minusa uwzględnią dopiero przy podstawianiu danych. Problem polega na tym, że nie zawsze jest pewność w którą stronę będą się poruszały odbite kulki, zatem nie zawsze jest pewność gdzie wstawić minusa. W pełnej ogólności zasadę zachowania pędu i zasadę zachowania energii można zapisać tak:

\(\displaystyle{ m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\\
\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{m_1u_1^2}{2}+\frac{m_2u_2^2}{2}}\)

Jest to układ dwóch równań na dwie niewiadome \(\displaystyle{ u_1}\) i \(\displaystyle{ u_2}\), które są współrzędnymi prędkości końcowych, zatem mogą przyjmować wartości dowolnego znaku. Skąd będziemy wiedzieli w którą stronę poruszają się kulki po odbiciu? Ano stwierdzimy to właśnie po znakach wyników. Tak samo jeśli chcielibyśmy uwzględnić to, że np. druga kulka porusza się w lewo, a dodatni zwrot osi jest w prawo, to podstawilibyśmy \(\displaystyle{ v_2=-25\frac{m}{s}}\).
Rozwiązywanie tego układu równań jest dość długie, a wyniki średnio zapamiętywalne, więc nie wiem który ze wzorów które podałeś jest tym dobrym. Musiałbym rozwiązać ten układ od nowa

hmmm myślałem, że rozwiązanie tego zadania można zapisać w jednej linijce. Jest to zadanie z jakiejś książki z fizyki na poziomie gimnazjum czy coś takiego. Liczyłem to z kimś innym i ta osoba wyliczyła to w jeszcze inny sposób, a mianowicie :

\(\displaystyle{ V_{2}'= \frac{ V_{2 \cdot ( m_{1} + m_{2}) + 2 m_{1} \cdot v_{1} } }{ m_{1} + m_{2} }}\)

Tak samo jeśli chcielibyśmy uwzględnić to, że np. druga kulka porusza się w lewo, a dodatni zwrot osi jest w prawo, to podstawilibyśmy \(\displaystyle{ v_2=-25\frac{m}{s}}\).

Faktycznie w treści zadania obiekt z prędkością \(\displaystyle{ V_{2}}\) "leci w prawo" czyli powinien mieć znak minus. Ale chciałbym aby to wszystko zaniedbać i aby wyliczyć to najłatwiejszą metodą. Chodzi po prostu o prędkości po zderzeniu dwóch ciał o różnych masach i prędkościach. Wszystko inne można pominąć

Wyniki mamy różne, wzory są różne i nawet nie wiemy czy ktoś z nas to dobrze wyliczył. Jakby komuś chciała się to wyliczyć albo wskazać poprawny wzór będę wdzięczny.



PS : wikipedia podaje wzór który podałem o numerze 1

No a tego nie idzie zrobić z zasady zachowania pędu?

xxDorianxx, rozumiem, że z zasady zachowania pędu którą napisał wyżej AiDi mam wyprowadzić wzór na \(\displaystyle{ u_{2}}\) i będę wiedział jaka jest prędkość ciała 2 po zderzeniu tak? innymi słowy będę wiedział który wzór jest prawdziwy

Wybacz, że tak łopatologicznie pytam ale zależy mi aby to zrozumieć a nie mieć gotowy wynik

No tak właśnie wspominał.I to właśnie idzie wtedy w linijkę.Dopisałeś wiadomość gdy ja dodałem post i nie doczytałem chyba.

ok postaram się coś wyprowadzić i ewentualnie napiszę tutaj

Rozwiązanie tego układu nie jest żmudne, jeśli rozwiązując go zastosujemy odpowiednie przekształcenia:

\(\displaystyle{ \begin{cases} m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2\\ \frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_2^2}{2}=\frac{m_1u_1^2}{2}+\frac{m_2u_2^2}{2}\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}m_{1}(v_{1}-u_{1})= -m_{2}(v_{2} - u_{2}) \\m_{1}(v_{1}-u_{1})(v_{1}+u_{1})= -m_{2}(v_{2}-u_{2})(v_{2}+u_{2}) \end{cases}}\)

Dzielimy równania drugie przez pierwsze - stronami

\(\displaystyle{ \begin{cases}m_{1}(v_{1}-u_{1})= -m_{2}(v_{2} - u_{2}) \\v_{1}+u_{1} =v_{2}+u_{2}\end{cases}}\)

Wyznaczając z drugiego równania \(\displaystyle{ u_{2}}\) i wstawiając do równania pierwszego i odwrotnie,
otrzymujemy odpowiednio wzory na wartości prędkości ciał po zderzeniu centralnym - sprężystym, jednowymiarowym


\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}=\frac{(m_{1}-m_{2})v_{1} +2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\ u_{2}= \frac{2m_{1}v_{1}+ (m_{2} - m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\end{cases}.}\)

Fermion pisze:hmmm myślałem, że rozwiązanie tego zadania można zapisać w jednej linijce.

Można, tylko zarzuciłeś tymi wielkimi wzorami to się na nich skupiłem

Można, tylko zarzuciłeś tymi wielkimi wzorami to się na nich skupiłem

Powiedz szczerze, tak często zajmowałeś się wyznaczaniem operatorów do konkretnych wielkości fizycznych że zapomniałeś jak się liczy te proste zadania żart oczywiście

Przeliczyłem dziś zadanie z wzorów które wyprowadził Bartl1omiej, ale prędkość która wyszła dla \(\displaystyle{ u_{2}}\) nie ma sensu. Obliczenia poniżej:

dane:

Ciało 1:

\(\displaystyle{ m _{1} = 200000 mg = 0,2 kg \\ v _{1} = 3240 km/h = 900m/s}\)

Ciało 2:

\(\displaystyle{ m _{2} = 0,02 t = 20 kg \\ v _{2} = 90 km/h = 25m/s}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}=\frac{(m_{1}-m_{2})v_{1} +2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\ u_{2}= \frac{2m_{1}v_{1}+ (m_{2} - m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\end{cases}}\)


\(\displaystyle{ u_{1} = \frac{(0,2-20)900+2 \cdot 20 \cdot 25}{0,2+20} = - 832 m/s}\)


\(\displaystyle{ u_{2} = \frac{2 \cdot 0,2 \cdot 900+(20-0,2) \cdot 25}{20+0,2} = 42,32 m/s}\)

INTERPRETACJA :

Wynik \(\displaystyle{ u_{1}}\) mógłbym zaakceptować - ciało odbiło się z mniejszą prędkością
Ale wynika dla \(\displaystyle{ u_{2}}\) nie ma sensu. Ciało nie mogło przyspieszyć skoro się zderzyły
Ktoś jakiś komentarz?

Przepraszam że męczę o to zadanie ale bardzo chciałbym to umieć rozwiązać.

Do wzorów wyprowadzonych przez Bartl1omieja

Bartl1omiej pisze:

\(\displaystyle{ \begin{cases} u_{1}=\frac{(m_{1}-m_{2})v_{1} +2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\\ u_{2}= \frac{2m_{1}v_{1}+ (m_{2} - m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\end{cases}.}\)

należy podstawić prędkości z odpowiednimi znakami: \(\displaystyle{ v_1 = 900\ \frac{m}{s}}\) oraz \(\displaystyle{ v_2 = -25\ \frac{m}{s}}\).
Otrzymamy wyniki końcowe: \(\displaystyle{ u_1 \approx -932\ \frac{m}{s}}\), \(\displaystyle{ u_2 \approx -7\ \frac{m}{s}}\), których interpretacja jest taka, że po zderzeniu sprężystym oba ciała poruszają w tym samym kierunku co drugie ciało przed zderzeniem.

korki_fizyka, dziwi mnie że ciało 1 przyspieszyło po odbiciu. Nigdy bym nie pomyślał że tak może się stać. Odebrało energie ciału 2 to jedyne wyjaśnienie. Trochę dziwne...ale skoro tak wychodzi. Dziękuję