okręgi styczne zewnętrznie

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: Bratower » 26 lut 2019, o 01:45

[Pytanie]
Jeśli weźmiemy dwa zewnętrznie styczne okręgi \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) o różnych promieniach oraz ich wspólną styczną \(\displaystyle{ l}\). To istnieje dokładnie jeden czy dwa okręgi jednocześnie styczne do \(\displaystyle{ S_1, S_2, l}\)? Dlaczego nie istnieją inne okręgi o tej własności?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7650
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 230 razy
Pomógł: 3017 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: kerajs » 26 lut 2019, o 06:31

1) Jeżeli wspólna styczna zawiera punkt styczności okręgów to istnieje nieskończenie wiele okręgów spełniających warunki zadania.
2) Wspólna styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów
a) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są równe (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\)) to istnieje zawsze dokładnie jeden okrąg spełniający treść zadania. Ma on promień \(\displaystyle{ x= \frac{R}{4}}\)
b) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są różne (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), i \(\displaystyle{ R>r}\)) to istnieją zawsze dokładnie dwa okręgi spełniające treść zadania. Mają promienie \(\displaystyle{ x= \frac{Rr}{R+2 \sqrt{Rr}+r }}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{Rr}{R-2 \sqrt{Rr}+r }}\)

Jeśli narysujesz inne okręgi styczne do okręgów danych, których promienie będą inne niż podane powyżej, to przekonasz się że przecinają styczną lub są z nią rozłączne.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18276
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3085 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: a4karo » 26 lut 2019, o 07:10

kerajs pisze:1) Jeżeli wspólna styczna zawiera punkt styczności okręgów to istnieje nieskończenie wiele okręgów spełniających warunki zadania.
2) Wspólna styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów
a) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są równe (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\)) to istnieje zawsze dokładnie jeden okrąg spełniający treść zadania. Ma on promień \(\displaystyle{ x= \frac{R}{4}}\)
b) Gdy promienie \(\displaystyle{ S_1}\) i \(\displaystyle{ S_2}\) są różne (i wynoszą \(\displaystyle{ R}\) oraz \(\displaystyle{ r}\), i \(\displaystyle{ R>r}\)) to istnieją zawsze dokładnie dwa okręgi spełniające treść zadania. Mają promienie \(\displaystyle{ x= \frac{Rr}{R+2 \sqrt{Rr}+r }}\) oraz \(\displaystyle{ y= \frac{Rr}{R-2 \sqrt{Rr}+r }}\)

Jeśli narysujesz inne okręgi styczne do okręgów danych, których promienie będą inne niż podane powyżej, to przekonasz się że przecinają styczną lub są z nią rozłączne.
Ad b) - jeden okrąg jest wpisany w krzywoliniowy trójkąt utworzony przez kawałek prostej oraz łuki okręgów między punktami styczności. Ale nie widzę gdzie jest ten drugi.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7650
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 230 razy
Pomógł: 3017 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: kerajs » 26 lut 2019, o 07:21

Drugi okrąg będzie tak duży że w krzywoliniowy trójkąt utworzony przez kawałek prostej oraz jego łuk i łuk okręgu danego o większym promieniu, można wpisać okrąg dany o promieniu mniejszym.

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1594
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 387 razy

okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: pesel » 26 lut 2019, o 14:32

Dlaczego nie nieskończenie wiele?

https://imgur.com/a/I9CgAIw

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18276
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3085 razy

okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: a4karo » 26 lut 2019, o 14:35

pesel pisze:Dlaczego nie nieskończenie wiele?

https://imgur.com/a/I9CgAIw
Bo to jest opisane w przypadku 1)

Awatar użytkownika
pesel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1594
Rejestracja: 8 cze 2010, o 13:09
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 387 razy

okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: pesel » 26 lut 2019, o 14:38

Fakt, trzeba czytać całe wątki. Thx.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1871
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 266 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: matmatmm » 26 lut 2019, o 22:49

Rozważam przypadek, gdy wspólna prosta styczna nie przechodzi przez punkt styczności okręgów. Oznaczam promienie przez \(\displaystyle{ R_1}\) i \(\displaystyle{ R_2}\) i zakładam, że \(\displaystyle{ R_1>R_2}\). Środki oznaczam przez \(\displaystyle{ O_1,O_2}\). Prostą styczną oznaczam przez \(\displaystyle{ l}\). Zakładam również, że szukamy okręgu stycznego zewnętrznie do obu danych okręgów.

Jeśli punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem szukanego okręgu, to

\(\displaystyle{ OO_1-OO_2=R_1-R_2}\)

oraz

\(\displaystyle{ OO_1-d(O,l)=R_1}\)

, gdzie \(\displaystyle{ d(O,l)}\) oznacza odległość \(\displaystyle{ O}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\).

Pierwsze równanie to równanie hiperboli, drugie równanie to coś w rodzaju paraboli plus półprosta (przykładowy wykres w wolframie ). Jak popatrzymy na wykresy tej hiperboli i tej drugiej figury, to widać, że przecinają się w dokładnie dwóch punktach, stąd nie może być więcej niż dwa okręgi o szukanej własności.

Zadanie jest delikatnie mówiąc trudne. Pełny dowód wymagałby pokazania, że istotnie te dwie figury nie mogą mieć więcej niż dwa punkty wspólne.

Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 64 razy
Pomógł: 2 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: Bratower » 26 lut 2019, o 22:58

Spotkałem się z takim uzasadnieniem tego zadania:
Środki okręgów stycznych od danego okręgu i danej prostej leżą na paraboli. Ponieważ dwie parabole mogą mieć co najwyżej dwa punkty wspólne, więc istnieją co najwyżej dwa okręgi spełniające warunki zadania.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18276
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 3085 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: a4karo » 26 lut 2019, o 23:02

Dwie parabole mogą mieć i cztery punkty wspólne

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1871
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 266 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: matmatmm » 27 lut 2019, o 14:31

Bratower pisze:Spotkałem się z takim uzasadnieniem tego zadania:
Środki okręgów stycznych od danego okręgu i danej prostej leżą na paraboli. Ponieważ dwie parabole mogą mieć co najwyżej dwa punkty wspólne, więc istnieją co najwyżej dwa okręgi spełniające warunki zadania.
W tej wersji to uzasadnienie jest niepoprawne, ale można je "naprawić".

W moim poprzednim poście wskazałem, że jeśli \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem szukanego okręgu, to leży na hiperboli (a właściwie na jednej z gałęzi) oraz na pewnej krzywej (czymś w rodzaju paraboli). Zauważmy, że \(\displaystyle{ O}\) spełnia również zależność

\(\displaystyle{ OO_2-d(O,l)=R_2}\)

czyli leży na jeszcze jednej krzywej tego samego typu co ta "parabola" (te trzy krzywe przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ O}\)). Zatem zamiast wykazywać, że hiperbola i "parabola" mają co najwyżej dwa punkty wspólne, można wykazać, że te dwie "parabole" mają co najwyżej dwa punkty wspólne. I tak w istocie jest.

Nasza "parabola" zależy od wyboru prostej i punktu nie leżącego na tej prostej (i jest jednoznacznie przez nie wyznaczona). W naszym przypadku obie "parabole" są wyznaczone przez tę samą prostą i to wystarcza, żeby stwierdzić, że mają co najwyżej dwa punkty wspólne. Jak tak na to teraz patrzę, to dowód analityczny tego faktu nie powinien być trudny.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7650
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 230 razy
Pomógł: 3017 razy

Re: okręgi styczne zewnętrznie

Post autor: kerajs » 28 lut 2019, o 07:23

Dla okręgu \(\displaystyle{ O}\) o promieniu \(\displaystyle{ R}\) stycznego do prostej \(\displaystyle{ l}\) w punkcie \(\displaystyle{ A}\), zbiór punktów środków okręgów stycznych do \(\displaystyle{ O}\) i \(\displaystyle{ l}\) i niezawierających punktu \(\displaystyle{ A}\) jest parabolą o kształcie paraboli \(\displaystyle{ y= \frac{1}{4R}x^2}\), o wierzchołku w punkcie \(\displaystyle{ A}\) i osi symetrii prostopadłej do \(\displaystyle{ l}\).

Dla okręgów z treści zadania (o promieniach \(\displaystyle{ R}\) i \(\displaystyle{ r}\)) szukanym środkiem okręgu do nich stycznego będzie miejsce przecięcia parabol o wierzchołkach leżących na prostej (odległych o \(\displaystyle{ 2 \sqrt{Rr}}\) ) i równoległych osiach symetrii. Gdy \(\displaystyle{ r=R}\) parabole mają jednakowy kształt i przecinają się tylko w jednym miejscu. Gdy \(\displaystyle{ r \neq R}\) to parabola o bardziej stromym kształcie przecina tylko jedno z ramion drugiej (bardziej rozłożystej) paraboli, i stąd dokładnie dwa rozwiązania.

ODPOWIEDZ