Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}}\) \(\displaystyle{ \frac{100^n}{n^n}}\)

Bez sensu ten zapis

Czemu bez sensu może być... ma to wartość logiczną...

dobra poprawiłem

0

Może lepiej to zobaczysz jak zapiszesz to tak: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left( \frac{100}{n}\right) ^n}\)

xxDorianxx pisze:Może lepiej to zobaczysz jak zapiszesz to tak: \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left( \frac{100}{n}\right) ^n}\)

A co widać lepiej w tej postaci?

JK

Możesz zrobić różnie, na przykład tak:

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\frac{100^n}{n^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{100}{n}=0<1}\), toteż na mocy kryterium Cauchy'ego szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{100^n}{n^n}}\) jest zbieżny. Z warunku koniecznego zbieżności szeregu wynika, że \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{100^n}{n^n}=0}\).

Albo możesz tak:

Z monotoniczności funkcji wykładniczej wynika, że dla \(\displaystyle{ n>100}\) jest \(\displaystyle{ \left(\frac{100}{n}\right)^n < \frac{100}{n}}\). Ostatecznie w związku z tym, że dla \(\displaystyle{ n>100}\) mamy \(\displaystyle{ 0<\left(\frac{100}{n}\right)^n < \frac{100}{n}}\), to z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{100}{n}\right)^n=0}\).