Dowód nierówności dla dowolnej liczby naturalnej.

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Cheerful
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 69
Rejestracja: 28 mar 2007, o 17:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: kraków
Podziękował: 11 razy

Dowód nierówności dla dowolnej liczby naturalnej.

Post autor: Cheerful » 8 paź 2007, o 18:28

udowodnic, ze dla dowolnej liczby naturalnej "n" prawdziwe sa nierówności: \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1}\) wiem ze nalezy skozystac z zaleznosci miedzy srednia aryt. i geometr.
Ostatnio zmieniony 9 paź 2007, o 10:24 przez Cheerful, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

Dowód nierówności dla dowolnej liczby naturalnej.

Post autor: jarekp » 9 paź 2007, o 11:31

wykorzystujemy nierówność między średnią arytmetyczną i harmoniczną

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}}{2n+1}\geqslant
\frac{2n+1}{\frac{1}{\frac{1}{n+1}}+\frac{1}{\frac{1}{n+2}}+...+
\frac{1}{\frac{1}{3n+1}}}=\frac{2n+1}{n+1+n+2+...+3n+1}=
\frac{2n+1}{\frac{n+1+3n+1}{2}(2n+1)}=\frac{1}{2n+1}}\)


czyli

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}}{2n+1}\geqslant\frac{1}{2n+1}}\)
więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}\geqslant1}\)

równośc zachodzi tylko dla n=0 więc pewnie liczby naturalne w zadaniu zdefiniowane są bez zera

czyli dla \(\displaystyle{ n\geqslant1}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1}\) i o to chodziło

ODPOWIEDZ