Granica ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Granica ciągu

Post autor: Calasilyar » 8 paź 2007, o 18:11

Zad.
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty} \frac{n+1}{n[\ln{(n+1)}-\ln{n}]}}\)

Rozwiązując to normalnie wychodzi \(\displaystyle{ \infty}\):
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{n}}{\ln{\left( \frac{n+1}{n}\right) }}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n}\right) }}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n(1+\frac{1}{n})}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n}\right)^{n} }}=\infty}\)


a z de l'Hospitala wychodzi 1:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{n+1}{n}}{\ln{\left( \frac{n+1}{n}\right) }}=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{\ln{\left( 1+\frac{1}{n}\right) }}=H=
\lim\limits_{n\to\infty}\frac{-\frac{1}{n^{2}}}{\frac{-\frac{1}{n^{2}}}{\left( 1+\frac{1}{n}\right)}}=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})=1}\)


Gdzie jest błąd?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Granica ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 paź 2007, o 18:19

A czy tu można wtedy korzystać z de L'Hospitala :?: :wink:

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Granica ciągu

Post autor: Calasilyar » 8 paź 2007, o 18:25

A czemu nie? W sumie to nie byłem pewien, ale chyba nie ma żadnych przeciwwskazań.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Granica ciągu

Post autor: Piotr Rutkowski » 8 paź 2007, o 18:33

W momencie gdy korzystasz z reguły de L'Hospitala masz wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\), a to nie spełnia kryteriów zastosowania reguły de L'Hospitala :wink:

Warunki:
W skrócie, jak masz funkcje różniczkowalne f i h, oraz \(\displaystyle{ h(x)\neq 0 \wedge h'(x)\neq 0}\) oraz funkcje te w punkcie \(\displaystyle{ x_{0}}\) obie zbiegają do zera bądź +-nieskończoności, to wtedy dopiero:
\(\displaystyle{ \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{h(x)}= \lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{f'(x)}{h'(x)}}\) :wink:
Ostatnio zmieniony 8 paź 2007, o 18:33 przez Piotr Rutkowski, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

Granica ciągu

Post autor: Calasilyar » 8 paź 2007, o 18:34

[quote="polskimisiek"]momencie gdy korzystasz z reguły de L'Hospitala masz wyrażenie \frac{1}{0}, [/quote]
aaa no racja ;) hehe, tak to jest jak się za daleko kombinuje :)

ODPOWIEDZ