Trójkąt o najmniejszym obwodzie

Dział całkowicie poświęcony zagadnieniom związanymi z trójkątami. Temu co się w nie wpisuje i na nich opisuje - też...
Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2483
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Trójkąt o najmniejszym obwodzie

Post autor: Dilectus » 18 lut 2019, o 23:49

Pomóżcie, proszę, bo wskutek starczej demencji zaciąłem się na prostym problemie:
Który z trójkątów o danej długości podstawy i danej wysokości na nią opuszczonej ma najmniejszy obwód? Jestem niemal pewien, że chodzi o trójkąt równoramienny, ale wszelkie próby udowodnienia tego kończą się fiaskiem...

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Trójkąt o najmniejszym obwodzie

Post autor: kerajs » 19 lut 2019, o 07:05

1)
Niech wierzchołki podstawy długości \(a\) będą ogniskami elipsy której półoś mała wynosi \(h\) (wtedy punkty elipsy są zbiorem wierzchołków trójkątów o takim samym obwodzie równym \(a+2 \sqrt{( \frac{a}{2} )^2+h^2}\). Elipsa ta jest styczna do prostej (będącej zbiorem wierzchołków trójkątów o takiej samej wysokości), a punkt styczności leży na końcu półosi małej czyli jego rzut jest środkiem podstawy, co potwierdza Twoja tezę.

2)
Niech wierzchołkami trójkąta będą: \((\frac{-a}{2},0) \ , \ ( \frac{a}{2},0) \ , \ ( 0,h)\).
\(Obw(x)=a+ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2} + \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}\\ Obw'(x)= \frac{ x+\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2}} + \frac{ x-\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}} \\ WK: \ \frac{ x+\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2}} + \frac{ x-\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}}=0\)
dla \(x \ge \frac{a}{2}\) lewa strona równania jest dodatnia, a dla \(x \le \frac{-a}{2}\) jest ujemna.
Dla \(\frac{-a}{2}<x<\frac{a}{2}\) zachodzi:
\(\frac{ x+\frac{a}{2}}{ \sqrt{( x+\frac{a}{2} )^2+h^2}} = \frac{ \frac{a}{2}-x}{ \sqrt{( x-\frac{a}{2} )^2+h^2}}\\ ( x+\frac{a}{2})^2(( x-\frac{a}{2} )^2+h^2)=( \frac{a}{2}-x)^2(( x+\frac{a}{2} )^2+h^2)\\ ( x+\frac{a}{2})^2=( \frac{a}{2}-x)^2\\ x=0\)
co potwierdza Twoja tezę.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: Trójkąt o najmniejszym obwodzie

Post autor: a4karo » 19 lut 2019, o 10:00

\(\begin{tikzpicture} \draw[thick] (-2,-2) node[below left] {A}--(2,-2) node[below right] {B} ; \draw[thin] (-2,0)--(2,0); \draw[thick] (-2,2) node[above left] {B'}--(2,2) node[above right] {A'} ; \draw[red] (-2,-2)--(2,2); \draw[orange] (2,-2)--(-2,2); \draw[blue] (-2,-2)--(1,0)--(2,2); \draw[green] (2,-2)--(1,0)--(-2,2); \end{tikzpicture}\)

Patrz !

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2483
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Trójkąt o najmniejszym obwodzie

Post autor: Dilectus » 19 lut 2019, o 10:33

kerajs, pierwszy sposób jest elegancki i nie wymaga rachunków, ale nie wpadłbym na niego, bo na śmierć zapomniałem o tej własności elipsy.
Sposób 2: Kombinowałem podobnie, ale wymiękłem przy zerowaniu pochodnej.

a4karo, Twój sposób jest tak prosty i oczywisty, że zwala z nóg, ale też nigdy bym na niego nie wpadł...

Dziękuję, chłopaki.

ODPOWIEDZ