Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ X}\)ma rozkład wykładniczy o parametrze \(\displaystyle{ \lambda =1}\) oraz \(\displaystyle{ Y}\) rozkład geometryczny o parametrze \(\displaystyle{ p=1/2}\). Jak znaleźć rozkład \(\displaystyle{ Z= \frac{X}{Y}}\). Czy jest to ciągły rozkład?
Możemy oczywiście zapisać \(\displaystyle{ P(Z \le t)=P(X \le tY)}\) ale co dalej?

\(\displaystyle{ F_{Z}(z) = \Pr(Z < z) = \Pr\left (\frac{X}{Y} < z \right) = \Pr \left(\frac{X}{Y}< z| Y =\left (\frac{1}{2}\right)^{x} \right)\cdot \Pr \left(Y =\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \right) = \\ = \Pr\left( \frac{X}{2^{x}}< z \right) =\Pr\left(\frac{X}{2^{x}}<z | X = e^{-x} \right)\cdot \Pr( X = e^{-x}) = \Pr \left( \frac{e^{-x}}{2^{x}}< z \right)= \\ = \Pr[ (2e)^{-x}< z ], \ \ Z = (2e)^{-x}}\)

Rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = (2e)^{-x}}\) jest rozkładem ciągłym.

To nie jest prawdą bez dodatkowych założeń - czy w treści nie miało być coś o zależności?

leg14 pisze:To nie jest prawdą bez dodatkowych założeń - czy w treści nie miało być coś o zależności?

Tak, zapomniałem o tym wspomnieć.

odpowiedz Janusza jest kompletnie niepoprawna, rozbij sobie
\(\displaystyle{ \PP(Z \le t ) = \sum_{k = 1}^{\infty } \PP(X \le t k) \cdot \frac{1}{2}^{k}}\)

Dlaczego niepoprawna?

Popatrz na to co napisałeś:
\(\displaystyle{ \PP(Z < z)= \PP((2e)^{-x} < z )}\)
Przeciez taka rowność nie ma sensu. Czym jest tu x?

Patrz Geoffrey Grimmett and David Stirzaker One Thousand Exercises in Probability, gdzie rozwiązne jest identyczne zadanie 4.7 14. p. 37.

-- 20 lut 2019, o 14:08 --

Nierówność ma sens, ponieważ pokazuje postać zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z.}\)

Janusz ja nie ponosze odpowiedzialnosci za Twoje bledne zrozumienie / zaaplikowanie rozwiazania z ksiazki. Chcesz bronic swojego rozwiazania to powiedz czym jest \(\displaystyle{ x}\)

Nie bądź Panie Leq bezczelny. To co napisałem rozumiem. Tylko Pan tego nie rozumie!

Powtarzam jeszcze raz napisz czym jest \(\displaystyle{ x}\) to Ci udowodnie , ze sie pomyliles

Nie egzaminować tylko przedstawić swoje rozwiązanie, to ja udowodnię, że jeśli jest inne to jest niewłaściwe.

Przedstawiłem parę postów wyżej (dla założenia o niezależności bez tej informacji nie da się zrobić tego zadsnia). Chyba stać Cię na wyjaśnienie czym jest \(\displaystyle{ x}\)?

Nic człowieku nie przedstawiłeś.

Widze, ze jak zwykle nie potrafisz przynac sie do bledu...

Zacznijmy od poczatku:
\(\displaystyle{ \Pr\left (\frac{X}{Y} < z \right) = \Pr \left(\frac{X}{Y}< z| Y =\left (\frac{1}{2}\right)^{x} \right)\cdot \Pr \left(Y =\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \right)}\)

Nie jest prawda bo po pierwsze \(\displaystyle{ \Pr \left(Y =\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) = 0}\)
dla dowolnych naturalnych \(\displaystyle{ x}\)
po drugie brakuje tu sumy po \(\displaystyle{ x}\) - mowiac inaczej wyciagasz go znikąd.
Jeśli już można napisać
\(\displaystyle{ \Pr\left (\frac{X}{Y} < z \right) =\sum_{x \in \NN; x > 0}^{} \Pr \left(\frac{X}{Y}< z| Y = x\right)\cdot \left( \frac{1}{2} \right) ^{x}}\)

Natomiast bez dodatkowych zalozen o relacji miedzy \(\displaystyle{ X}\), a \(\displaystyle{ Y}\) nie jestes w stanie nic wiecej zrobic