odległość punktu od prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn

odległość punktu od prostej

Post autor: Bratower » 14 lut 2019, o 18:41

Na wykresie funkcji \(y=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50\) znajdź współrzędne punktu A, którego odległość od prostej o równaniu \(y=-2x-22\) jest najmniejsza.
__________________
Moje rozwiązanie i mam pytanie dlaczego to działa w analitycznej?
Podstawiam \(y=-2x-22\) do pierwszej funkcji.
\(-2x-22=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50\\ \frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+24x+72=0\\ f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+24x+72\\ f'(x)=0\Leftrightarrow x^3-3x^2-10x+24=0\\ (x-4)(x-2)(x+3)=0\)
Min lok w \(x=-3\), podstawiam \(x=-3\)
\(y=\frac{1}{4}\cdot81+27-45-66+50=-\frac{55}{4}\\ \begin{cases}x=-3\\y=-\frac{55}{4}\end{cases}\)
I to jest poprawna odpowiedź. Dlaczego to działa? Dlaczego nie działa jak wstawię \(x=-3\) do \(y=-2x-22\)? Czy zawsze ta metoda zadziała?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: a4karo » 15 lut 2019, o 09:39

Może i ten wynik jest oczekiwany przez układającego zadanie, ale nie jest on rozwiązaniem zadania.
Takie rozwiązanie znajdzie punkty, gdzie odległość wykresów liczona w PIONIE jest najmniejsza. To nie ma nic wspólnego z treścią zadania, w którym chodzi o odległość punktu na krzywej od prostej - tę odległość mierzy się w kierunku prostopadłym do prostej.

Awatar użytkownika
Bratower
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 103
Rejestracja: 26 paź 2017, o 05:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: Bratower » 15 lut 2019, o 15:23

Czyli jakbym na maturze tak rozwiązał zadanie to nie byłoby zaliczone na max pkt?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 24935
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: Jan Kraszewski » 15 lut 2019, o 16:15

Takiego zadania nie byłoby na maturze, ale ja dałbym za takie rozwiązanie zero punktów, bo to jest rozwiązanie innego zadania.

JK

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Re: odległość punktu od prostej

Post autor: a4karo » 15 lut 2019, o 22:02

a4karo pisze:Może i ten wynik jest oczekiwany przez układającego zadanie, ale nie jest on rozwiązaniem zadania.
Takie rozwiązanie znajdzie punkty, gdzie odległość wykresów liczona w PIONIE jest najmniejsza. To nie ma nic wspólnego z treścią zadania, w którym chodzi o odległość punktu na krzywej od prostej - tę odległość mierzy się w kierunku prostopadłym do prostej.
Autokorekta: Trochę wspólnego ma, ale wymaga to pewnego uzasadnienia:

Po pierwsze, trzeba pokazać, że wykres funkcji \(f(x)=\frac{1}{4}x^4-x^3-5x^2+22x+50\) leży zawsze nad wykresem funkcji \(l(x)=-2x-22\)

Niech \(L(x)=(x,l(x)),\ F(x)=(x,f(x))\) a \(P(x)\) będzie rzutem punktu \(F(x)\) na prostą \(l\). Wtedy \(d(P(x),F(x))=d(F(x),L(x))|\cos\alpha|\), gdzie \(\alpha\) jest kątem nachylenia prostej \(l\) do osi \(OX\).
Z tej równości wynika, że odległość punktu na wykresie funkcji \(f\) od prostej \(l\) jest proporcjonalna do odległości tych krzywej od prostej w pionie.

ODPOWIEDZ