Liczba prób zdarzeń niezależnych zależna od innej zmiennej

[zagubiony_uzytkownik]

Mam takie o to zadanie gdzie Ania rzuca n monetami naraz, aż wszystkie będą obrócone reszkami. Pytanie ile średnio orłów wypadnie?
Np dla \(\displaystyle{ n = 3}\) mamy ROR ROO ORO RRR, wypadło 5 orłów.

Mój sposób:
\(\displaystyle{ S = X_{1} + X_{2} + ... + X_{N}}\), gdzie \(\displaystyle{ X_{i} \sim Binom(n, p)}\) oraz \(\displaystyle{ N \sim Geom(p)}\)
Mamy
\(\displaystyle{ EX_{i} = \frac{n}{2} \newline EN = 2^n}\)
Zatem
\(\displaystyle{ ES = \frac{n}{2} + (1 - \frac{1}{2^n})ES \newline ES = n2^{n-1}}\)
Czy to rozumowanie jest poprawne? Jeśli tak to jak powinienem to uzasadnić? Znalazłem ogólny wzór gdzie \(\displaystyle{ ES = ENEX}\) ale wymaga on niezależności \(\displaystyle{ N}\) od \(\displaystyle{ X_{i}}\) czego tutaj nie mamy.

[janusz47]

\(\displaystyle{ X_{i}\sim \mathcal{B}\left (n_{i}, \frac{1}{2}\right).}\)

\(\displaystyle{ E(X_{i}) = \frac{n_{i}}{2}.}\)

\(\displaystyle{ n_{1} = n -\frac{n}{2}= \frac{n}{2}= \frac{n_{0}}{2}.}\)

\(\displaystyle{ n_{i} - \frac{n_{i-1}}{2}=...= n_{0}2^{-i}= n2^{-i}.}\)

\(\displaystyle{ 1 = n2^{-i} \leftrightarrow i = \log _{2}(n).}\)

\(\displaystyle{ E(X) \approx [\log _{2}(n) +2].}\)