Ilość możliwości złożenia regału.

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Awatar użytkownika
Temonuv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 paź 2007, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: Temonuv » 14 lut 2019, o 10:41

Hej!

Mam zadanie dla prawdziwego kozaka z kombinatoryki (lub kozaczki ).

Wyobraźcie sobie regał. 2 boki i półki. Regał ma w bokach otwory tak, żeby można było montować półki na różnej wysokości przy czym minimalna ilość półek to 2 (inaczej regał się rozpadnie) i maksymalna to 8 na raz (bo na tyle pozwalają dostępne otwory). Każdy z elementów (bok, półka) można pomalować na jeden z 35 kolorów. Ile jest możliwości konfiguracji takiego regału?

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 477
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 112 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: Belf » 14 lut 2019, o 11:07

Dla dwóch niepomalowanych półek mamy: \(\displaystyle{ {8 \choose 2}}\) możliwości (kombinacje)
Mając 35 kolorów możemy te półki pomalować na: \(\displaystyle{ {35 +2 - 1 \choose 2}}\) sposobów (kombinacje z powtórzeniami)
Czyli dla dwóch półek mamy:\(\displaystyle{ {8 \choose 2}\cdot{35 +2 - 1 \choose 2}}\)
Teraz te dwie półki możemy zamienić miejscami, czyli:\(\displaystyle{ {8 \choose 2}\cdot{35 +2 - 1 \choose 2}\cdot2!}\)

Dla trzech niepomalowanych pólek mamy: \(\displaystyle{ {8 \choose 3}}\) możliwości
Sposobów pomalowania mamy: \(\displaystyle{ {35 + 3 - 1 \choose 3}}\) możliwości.
Czyli dla trzech półek mamy:\(\displaystyle{ {8 \choose 3}\cdot{35 + 3 - 1 \choose 3}}\)
Teraz możemy ja zamieniać miejscami,czyli:\(\displaystyle{ {8 \choose 3}\cdot{35 + 3 - 1 \choose 3}\cdot3!}\)

...itd, aż do ośmiu półek i sumujemy wszystkie te iloczyny.

Awatar użytkownika
Temonuv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 paź 2007, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: Temonuv » 14 lut 2019, o 11:18

Wygląda sensownie, dziękuję

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: arek1357 » 14 lut 2019, o 11:20

Niestety to jest źle, jak masz 35 kolorów i masz np. trzy półki do pomalowania to możliwości jest:

\(\displaystyle{ 35^3}\) wariacje z powtórzeniami...

Zobacz na małych przykładach, że to działa:

Masz np. dwa kolory i trzy półki to możliwości ich pokolorowania jest.: \(\displaystyle{ 2^3=8}\)


W zadaniu trzeba pomalować wszystko boki i półki , boki na bank a półek tyle ile jest przykręconych...
(Minimum dwie).

masz:

\(\displaystyle{ \sum_{y=2}^{8}35^2 \cdot 35^y \cdot {8 \choose y}}\)

1. Malujesz na bank dwa boki.: \(\displaystyle{ 35^2}\)

2. Wybierasz i skręcasz kilka półek - \(\displaystyle{ y}\) na sposobów.: \(\displaystyle{ {8 \choose y}}\)

3. Malujesz te półki .: \(\displaystyle{ 35^y}\)

4. Sumujesz po ilości skręconych półek...

Zakładam, że malujesz każdy element, bo jeżeli dołożylibyśmy możliwość niewymalowania to zamiast:

\(\displaystyle{ 35}\)musiało by być \(\displaystyle{ 36}\), bo bez koloru to też kolor...

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 477
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 112 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: Belf » 14 lut 2019, o 11:38

arek1357 pisze:Niestety to jest źle, jak masz 35 kolorów i masz np. trzy półki do pomalowania to możliwości jest:

\(\displaystyle{ 35^3}\) wariacje z powtórzeniami...

Zobacz na małych przykładach, że to działa:

Masz np. dwa kolory i trzy półki to możliwości ich pokolorowania jest.: \(\displaystyle{ 2^3=8}\)


W zadaniu trzeba pomalować wszystko boki i półki , boki na bank a półek tyle ile jest przykręconych...


masz:

\(\displaystyle{ \sum_{y=2}^{8}35^2 \cdot 35^y \cdot {8 \choose y}}\)

1. Malujesz na bank dwa boki.: \(\displaystyle{ 35^2}\)

2. Wybierasz i skręcasz kilka półek - \(\displaystyle{ y}\) na sposobów.: \(\displaystyle{ {8 \choose y}}\)

3. Malujesz te półki .: \(\displaystyle{ 35^y}\)

4. Sumujesz po ilości skręconych półek...

Zakładam, że malujesz każdy element, bo jeżeli dołożylibyśmy możliwość niewymalowania to zamiast:

\(\displaystyle{ 35}\)musiało by być \(\displaystyle{ 36}\), bo bez koloru to też kolor...
Masz rację. Nie do końca przemyslałem rozwiązanie tego zadania.

Awatar użytkownika
Temonuv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 paź 2007, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: Temonuv » 14 lut 2019, o 11:43

Założyłem już w tej ilości 35, że jednym z kolorów jest surowy, niemalowany aby uprościć opis.

Nie wiem czy to Was zainteresuje, ale Wasze starania nie idą w próżnię. Obliczenia chcę wykorzystać w swoim sklepie
[ciach]
Jeszcze raz dziękuję i pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 16 lut 2019, o 11:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Kryptoreklama.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: arek1357 » 14 lut 2019, o 11:51

No to ok...
Nie wiem czy to Was zainteresuje, ale Wasze starania nie idą w próżnię. Obliczenia chcę wykorzystać w swoim sklepie
Mnie właśnie wszystko interesuje , interesuję się również nawet i fizyką za co mnie raczą warnami jacyś pseudointelektualiści...

ale co do Twoich półek to nie bardzo rozumiem , przecież te moje obliczenia to chyba nie za bardzo są praktyczne przecież ten wynik co wyjdzie z mojego wzoru to jakaś astronomiczna liczba,
nie wiem na co komu ona w Twoim sklepie. Chętnie bym Cię nawet w tym sklepie odwiedził i sprawdził przydatność tak wielkich liczb ale to bardzo daleko a ja mieszkam w Zapyziałowicach Dolnych tam nic nie kursuje ...Zresztą muszę stwierdzić, że jesteś dość sympatyczną osobą co na tym forum należy do rzadkości...

Awatar użytkownika
Temonuv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 paź 2007, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: Temonuv » 15 lut 2019, o 14:08

arek1357 pisze: ale co do Twoich półek to nie bardzo rozumiem , przecież te moje obliczenia to chyba nie za bardzo są praktyczne przecież ten wynik co wyjdzie z mojego wzoru to jakaś astronomiczna liczba,
nie wiem na co komu ona w Twoim sklepie. Chętnie bym Cię nawet w tym sklepie odwiedził i sprawdził przydatność tak wielkich liczb ale to bardzo daleko a ja mieszkam w Zapyziałowicach Dolnych tam nic nie kursuje ...Zresztą muszę stwierdzić, że jesteś dość sympatyczną osobą co na tym forum należy do rzadkości...
Wcześniej w opisie regału na stronie miałem informację o tym, że dostępna jest
"Niezliczona ilość konfiguracji regału!"

Jak możesz zobaczyć na stronie
[ciach]
dodałem gwiazdkę * i konkretne liczby na dole opisu. Obliczenia przy pomocy wolframalpha.com nie liczyłem na palcach

Praktycznego zastosowania nie ma, wyłącznie informacyjne. No i w sumie to błędem było napisać "niezliczona". Takie zboczenie, bo jestem inżynierem i lubię być dokładny, a to zadanie mnie przerosło, kombinatorykę miałem 10 lat temu w liceum.

I dziękuję za miłe słowa
Ostatnio zmieniony 16 lut 2019, o 11:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Kryptoreklama.

Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3759
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 87 razy
Pomógł: 367 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: arek1357 » 16 lut 2019, o 02:02

Ech zadanie było banalne...

I mam pytanko do którego regału liczyłem:
Mały, średni, duży?...

Awatar użytkownika
Temonuv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 15 paź 2007, o 18:20
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy

Re: Ilość możliwości złożenia regału.

Post autor: Temonuv » 16 lut 2019, o 09:25

Mały ma 16 dziurek (8 wysokości)

Ojoj... też dostałem ostrzeżenie.
Przepraszam. Nie sadziłem, że ktoś tu odbierze te linki jako reklamę Matematycy i uczniowie/studenci są daleko mojej grupy docelowej. To się więcej nie powtórzy

ODPOWIEDZ